Invariants de les quàdriques i classificació euclidiana

Definicions

Donat un polinomi quadràtic $q(x,y,z)$, sigui $\overline{A}$ la seva matriu i $A$ la seva matriu principal. Definim els nombres reals $D_i=D_i(\overline{A}), 1 \leq i \leq 4, d_i=d_i(A), 1\leq i \leq 3 $ per les fórmules següents: $$det(\lambda \cdot I_4-\overline{A})=\lambda^4 -D_1\lambda^3+D_2\lambda^2-D_3\lambda +D_4$$ $$det(\lambda \cdot I_3-A)=\lambda^3-d_1\lambda^2+d_2\lambda - d_3$$ L'expressió $D_4=det(\overline{A})$ s'anomena discriminant de $q(x,y,z)$. Anàlogament, l'expressió $d_3=det(A)$ s'anomena discriminant de la part principal de $q(x,y,z)$. Remarquem que $$d_1=a+b+c \ d_2=ab+ac+bc-(f^2+g^2+h^2)$$

En la classificació efectiva de les quàdriques intervé encara un altre factor més, que es diu índex, denotat per $j$, o índex de la part principal. L'índex principal de $q(x,y,z)$ és $1$ si $d_1d_3 < 0$ o $d_2 < 0$, i $0$ en cas contrari.

Classificació euclidiana de les quàdriques

$$\left\{\begin{array}{l} D_4=0 \left\{\begin{array}{l} d_3=0 \left\{\begin{array}{l} d_2\neq0 \left\{\begin{array}{l} d_2 > 0 \left\{\begin{array}{l} D_3\neq0 \left\{\begin{array}{l} d_1D_3 < 0 \text{ cilindre el·líptic real } \\ d_1D_3 > 0 \text{ cilindre el·líptic imaginari } \end{array}\right. \\ D_3=0 \text{ parell de plans imaginaris conjugats } \end{array}\right. \\ d_2 < 0 \left\{\begin{array}{l} D_3\neq0 \text{ cilindre hiperbòlic } \\ D_3=0 \text{ parell de plans paral·lels } \end{array}\right. \end{array}\right. \\ d_2=0 \left\{\begin{array}{l} D_3\neq0 \text{ cilindre parabòlic } \\ D_3=0 \left\{\begin{array}{l} D_2 < 0 \text{ parell de plans reals paral·lels } \\ D_2 > 0 \text{ parell de plans imaginaris conjugats } \\ D_2=0 \text{ pla doble } \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \\ d_3\neq0 \left\{\begin{array}{l} j=0 \text{ con imaginari } \\ j=1 \text{ con real } \end{array}\right. \end{array}\right. \\ D_4\neq0 \left\{\begin{array}{l} d_3\neq0 \left\{\begin{array}{l} j=0 \text{ el·lipsoide } \left\{\begin{array}{l} D_4 < 0 \text{ real } \\ D_4 > 0 \text{ imaginari } \end{array}\right. \\ j=1 \text{ hiperboloide } \left\{\begin{array}{l} D_4 < 0 \text{ de dues fulles } \\ D_4 > 0 \text{ d'una fulla } \end{array}\right. \end{array}\right. \\ d_3=0 \text{ paraboloide } \left\{\begin{array}{l}D_4<0 \text{ el·líptic } \\ D_4>0 \text{ hiperbòlic }\end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.$$

Obtenció de les equacions reduïdes a partir dels invariants

Suposem que tenim una quàdrica donada per l'equació $q(x,y,z)=0$ en un sistema de coordenades rectangulars$(x,y,z)$. Suposem que també hem determinat l'espècie de la quàdrica mitjançant l'esquema anterior i tenim calculats els seus valors propis $\lambda_1, \lambda_2$ i $\lambda_3$ de la matriu principal de $q(x,y,z)$.

Quàdriques del tipus centrat

Si la quàdrica és del tipus centrat, la forma reduïda $$\displaystyle \lambda_1 x^2+\lambda_2y^2+\lambda_3z^2+\frac{D_4}{d_3}=0$$referida a un sistema de coordenades rectangular convenient, defineix una quàdrica que coincideix amb $Q$.

Quàdriques del tipus parabòlic

Hi ha dos valors propis no nuls $\lambda_1>0$ i $\lambda_2$. La quàdrica es defineix la forma reduïda$$\displaystyle \lambda_1x^2+\lambda_2y^2-2z\sqrt{\frac{-D_4}{d_2}}=0$$referida a un sistema de coordenades convenient, coincideix amb $Q$.

Quàdriques degenerades

Els cons ja han estat considerats. Pel que fa a les altres degenerades, l'obtenció d'una equació reduïda a partir dels invariants és equivalent a l'obtenció de les equacions reduïdes de les còniques. Per a les quàdriques del tipus cilíndric centrat, per exemple, la forma reduïda és $$\displaystyle \lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\frac{D_3}{d_2}=0$$ i per a les del tipus cilíndric parabòlic, la seva forma reduïda és $$\displaystyle \lambda_1x^2-2y\sqrt{\frac{-D_3}{d_1}}=0$$

Finalment, la forma reduïda d'un parell de rectes paral·leles és $$\displaystyle \lambda_1x^2+\frac{D_2}{d_1}=0$$

Com a punt final al nivell, es pot calcular el volum d'un el·lipsoide real mitjançant els invariants euclidians. La seva fórmula és $$\displaystyle A=\frac{4}{3}\pi \sqrt{\frac{D_4^3}{d_3^3}}$$

Donada la quàdrica $$x^2+y^2+2xz+6z-2=0$$ Classifiqueu-la mitjançant els invariants euclidians.

La matriu associada a la quàdrica és $$\overline{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \end{bmatrix}$$ Un cop obtinguda la matriu, anem a calcular els invariants euclidians. Per fer-ho, anem a considerar els següents determinants: $$det(x \cdot I-\overline{A})=x^4-13x^2+19x-7 \\ det (x \cdot I - A)=x^3-2x^2+1$$ A la vista dels dos determinants, els invariants euclidians són els següents: $$\left \{ \begin{array}{l} D_1=0 \\ D_2=-13 \\ D_3=-19 \\ D_4=-7\end{array} \right.$$ i $$\left\{ \begin{array}{l} d_1=2 \\ d_2=0 \\ d_3=-1 \end{array} \right.$$ Un cop obtinguts els invariants euclidians, només falta calcular el seu índex. Com $d_1d_3 < 0$, l'índex és $1$. Per tant, per l'esquema de classificació, tenim que:

$D_4 < 0, d_3\neq 0$ i $J=1$.

Per tant, es tracta d'un hiperboloide el·líptic.

Donada la quàdrica $$q(x,y,z)=x^2+4xy+2xz+4y^2+4yz+z^2+2x=0$$ anem a classificar-la mitjançant els invariants euclidians.

Calculem la matriu associada a la quàdrica i després els seus polinomis característics associats a la matriu i a la matriu principal: $$\overline{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ $$det(\overline{A}-x \cdot I-\overline{A})=x^4-6x^3-x^2+5x \\ det (A-x \cdot I)=-x^3+6x^2$$ Per tant, tenim que els invariants euclidians són: $$\left\{\begin{array}{l} D_1 = 6\\D_2=-1 \\ D_3=-5 \\ D_4 =0 \end{array} \right.$$ i $$\left\{ \begin{array}{l} d_1=6 \\ d_2=0 \\ d_3=0 \end{array}\right.$$ Per tant, mitjançant l'esquema de classificació dels invariants euclidians, tenim que la quàdrica és un cilindre parabòlic.

Practicar exercicis