Invariantes de las cuádricas y clasificación euclídea

Definiciones

Dado un polinomio cuadrático $q(x,y,z)$, sea $\overline{A}$ su matriz y $A$ su matriz principal. Definimos los números reales $D_i=D_i(\overline{A}), 1 \leq i \leq 4, d_i=d_i(A), 1\leq i \leq 3 $ por las fórmulas: $$det(\lambda \cdot I_4-\overline{A})=\lambda^4 -D_1\lambda^3+D_2\lambda^2-D_3\lambda +D_4$$ $$det(\lambda \cdot I_3-A)=\lambda^3-d_1\lambda^2+d_2\lambda - d_3$$ La expresión $D_4=det(\overline{A})$ se denomina discriminante de $q(x,y,z)$. Análogamente, la expresión $d_3=det(A)$ se llama discriminante de la parte principal de $q(x,y,z)$. Remarcamos que $$d_1=a+b+c \ d_2=ab+ac+bc-(f^2+g^2+h^2)$$

En la clasificación efectiva de las cuádricas interviene aún otro factor más, que se llama índice, denotado por $j$, o índice de la parte principal. El índicde principal de $q(x,y,z)$ es $1$ si $d_1d_3 < 0$ o $d_2 < 0$, y $0$ en otro caso.

Clasificación euclidiana de las cuádricas

$$\left\{\begin{array}{l} D_4=0 \left\{\begin{array}{l} d_3=0 \left\{\begin{array}{l} d_2\neq0 \left\{\begin{array}{l} d_2 > 0 \left\{\begin{array}{l} D_3\neq0 \left\{\begin{array}{l} d_1D_3 < 0 \text{ cilindro elíptico real } \\ d_1D_3 > 0 \text{ cilindro elíptico imaginario } \end{array}\right. \\ D_3=0 \text{ par de planos paralelos conjugados } \end{array}\right. \\ d_2 < 0 \left\{\begin{array}{l} D_3\neq0 \text{ cilindro hiperbólico } \\ D_3=0 \text{ par de planos paralelos } \end{array}\right. \end{array}\right. \\ d_2=0 \left\{\begin{array}{l} D_3\neq0 \text{ cilindro parabólico } \\ D_3=0 \left\{\begin{array}{l} D_2 < 0 \text{ par de planos paralelos reales } \\ D_2 > 0 \text{ par de planos imaginarios conjugados } \\ D_2=0 \text{ doble plano } \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \\ d_3\neq0 \left\{\begin{array}{l} j=0 \text{ cono imaginario } \\ j=1 \text{ cono real } \end{array}\right. \end{array}\right. \\ D_4\neq0 \left\{\begin{array}{l} d_3\neq0 \left\{\begin{array}{l} j=0 \text{ elipsoide } \left\{\begin{array}{l} D_4 < 0 \text{ real } \\ D_4 > 0 \text{ imaginaria } \end{array}\right. \\ j=1 \text{ hiperboloide } \left\{\begin{array}{l} D_4 < 0 \text{ dos hojas } \\ D_4 > 0 \text{ una hoja } \end{array}\right. \end{array}\right. \\ d_3=0 \text{ paraboloide } \left\{\begin{array}{l}D_4<0 \text{ elíptico } \\ D_4>0 \text{ hiperbólico }\end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.$$

Obtención de las ecuaciones reducidas a partir de los invariantes

Supongamos que tenemos una cuádrica dada por la ecuación $q(x,y,z)=0$ en un sistema de coordenadas rectangulares$(x,y,z)$. Supongamos que también hemos determinado la especie de la cuádrica mediante el esquema anterior i tenemos calculados sus valores propios $\lambda_1, \lambda_2$ y $\lambda_3$ de la matriz principal de $q(x,y,z)$.

Cuádricas del tipo centrado

Si la cuádrica es del tipo centrado, la forma reducida $$\displaystyle \lambda_1 x^2+\lambda_2y^2+\lambda_3z^2+\frac{D_4}{d_3}=0$$referida a un sistema de coordenadas rectangular conveniente, define una cuádrica que coincide con $Q$.

Cuádricas del tipo parabólico

Hay dos valores propios no nulos $\lambda_1>0$ y $\lambda_2$. La cuádrica definida por la forma reducida$$\displaystyle \lambda_1x^2+\lambda_2y^2-2z\sqrt{\frac{-D_4}{d_2}}=0$$referida a un sistema de coordenadas conveniente, coincide con $Q$.

Cuádricas degeneradas

Los conos ya han sido considerados. Por lo que respecta a las otras degeneradas, la obtención de una ecuación reducida a partir de los invariantes es equivalente a la obtención de las ecuaciones reducidas de las cónicas. Para las cuádricas del tipo cilíndrico centrado, por ejemplo, la forma reducida es $$\displaystyle \lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\frac{D_3}{d_2}=0$$ y para las del tipo cilíndrico parabólico, su forma reducida es $$\displaystyle \lambda_1x^2-2y\sqrt{\frac{-D_3}{d_1}}=0$$

Finalmente, la forma reducida de un par de rectas paralelas es $$\displaystyle \lambda_1x^2+\frac{D_2}{d_1}=0$$

Como punto final al nivel, se puede calcular el volumen de un elipsoide real mediante los invariantes euclidianos. Su fórmula es $$\displaystyle A=\frac{4}{3}\pi \sqrt{\frac{D_4^3}{d_3^3}}$$

Dada la cuádrica $$x^2+y^2+2xz+6z-2=0$$ clasificadla mediante los invariantes euclídeos.

La matriz asociada a la cuádrica es $$\overline{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \end{bmatrix}$$ Una vez obtenida la matriz, vamos a calcular los invariantes euclídeos. Para hacerlo, vamos a considerar los siguientes determinantes: $$det(x \cdot I-\overline{A})=x^4-13x^2+19x-7 \\ det (x \cdot I - A)=x^3-2x^2+1$$ A la vista de los dos determinantes, los invariantes euclídeos son los siguientes: $$\left \{ \begin{array}{l} D_1=0 \\ D_2=-13 \\ D_3=-19 \\ D_4=-7\end{array} \right.$$ y $$\left\{ \begin{array}{l} d_1=2 \\ d_2=0 \\ d_3=-1 \end{array} \right.$$ Una vez obtenidos los invariantes euclídeos, solo falta calcular su índice. Como $d_1d_3 < 0$, el índice es $1$. Por lo tanto, por el esquema de clasificación, tenemos que:

$D_4 < 0, d_3\neq 0$ y $J=1$.

Por lo tanto, se trata de un hiperboloide elíptico.

Dada la cuádrica $$q(x,y,z)=x^2+4xy+2xz+4y^2+4yz+z^2+2x=0$$ vamos a clasificarla mediante los invariantes euclídeos.

Calculamos la matriz asociada a la cuádrica y luego sus polinomios característicos asociados a la matriz y a la matriz principal: $$\overline{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ $$det(\overline{A}-x \cdot I-\overline{A})=x^4-6x^3-x^2+5x \\ det (A-x \cdot I)=-x^3+6x^2$$ Por lo tanto, tenemos que los invariantes euclídeos son: $$\left\{\begin{array}{l} D_1 = 6\\D_2=-1 \\ D_3=-5 \\ D_4 =0 \end{array} \right.$$ y $$\left\{ \begin{array}{l} d_1=6 \\ d_2=0 \\ d_3=0 \end{array}\right.$$ Por lo tanto, mediante el esquema de clasificación de los invariantes euclídeos, tenemos que la cuádrica es un cilindro parabólico.

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