Equacions reduïdes i canòniques de les quàdriques
Sigui $x^2+y^2+z^2+2xz+4y+2z+3=0$ l'equació d'una quàdrica. Classifiqueu-la de manera afí.
Primer, calculem la matriu principal associada a l'equació de la quàdrica i el polinomi característic associat.
Sigui $$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix} \Rightarrow det(A-xI)=-x^3+3x^2-2x=-x(x^2-3x+2)=$$ $$=-x(x-1)(x-2)$$ Per tant, a la vista dels resultats, veiem que dos VAPS són no nuls i un VAP és zero. L'equació de la quàdrica s'ha transformat en $$q(x,y,z)=x^2+2y^2+4y+2z+3=0$$ Com que només tenim terme lineal per a la $y$, completem quadrats per a aquesta coordenada. En efecte, l'equació de la quàdrica es transforma en $$q(x,y,z)=x^2+2(y+1)^2+2z+1 \approx x^2+2y^2+2z+1=0$$ Per tant, la forma reduïda es tracta d'una del tipus parabòlic. Finalment, anem a trobar l'equació canònica.
Siguin $a=1$ i $b=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ dos valors reals, llavors l'equació de la quàdrica és de la forma $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+2z+1=0$$ que és un paraboloide el·líptic.
L' equació canònica és $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+2z+1=0$ que és un paraboloide el·líptic.