Ecuaciones reducidas y canónicas de las cuádricas
Sea $x^2+y^2+z^2+2xz+4y+2z+3=0$ la ecuación de una cuádrica. Clasificarla afinmente.
Primero, calculamos la matriz principal asociada a la ecuación de la cuádrica y el polinomio característico asociado.
En efecto, sea $$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix} \Rightarrow det(A-xI)=-x^3+3x^2-2x=-x(x^2-3x+2)=$$ $$=-x(x-1)(x-2)$$ Por lo tanto, a la vista de los resultados, vemos que dos VAPS son no nulos y un VAP es cero. La ecuación de la cuádrica se ha transformado en $$q(x,y,z)=x^2+2y^2+4y+2z+3=0$$ Como sólo tenemos término lineal para la $y$, completamos cuadrados para esta coordenada. En efecto, la ecuación de la cuádrica se transforma en $$q(x,y,z)=x^2+2(y+1)^2+2z+1 \approx x^2+2y^2+2z+1=0$$ Por lo tanto, la forma reducida se trata de una del tipo parabólico. Finalmente, vamos a encontrar la ecuación canónica.
Sean $a=1$ y $b=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ dos valores reales, entonces la ecuación de la cuádrica es de la forma $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+2z+1=0$$ que es un paraboloide elíptico.
La ecuación canónica es $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+2z+1=0$ que es un paraboloide elíptico.