Equacions reduïdes i canòniques de les còniques
Trobar l'equació canònica de la cònica definida per la següent equació $x^2+y^2+2x+3=0$.
Per començar, observeu que no hi ha terme $xy$, de manera que la primera reducció no és necessària perquè la matriu principal $A'$ és ja diagonal.
Completant el quadrat per a les $x$'s, tenim que l'equació es transforma en: $$(x+1)^2+y^2+2=0$$
Fent el canvi de variable $x' = x+1, \ y' = y$ l'equació ens queda de la forma $$x'^2+y'^2+2=0$$ Observeu que l'equació canònica és la d'una el·lipse imaginària.
L'equació canònica és $x'^2+y'^2+2=0$ i per tant es tracta d'una el·lipse imaginària.