Conceptos fundamentales de los vectores

Determina los valores de $x$ y $y$ para que se verifiquen los siguientes enunciados:

  1. $(x,y)-3(2,5)=(4,1)$
  2. $2(1,x)+3(y,2)=(8,-2)$
  3. Calcula el módulo de los vectores $(4,1)$ y $(8,-2)$.
  1. $(x,y)=(4,1)+3(2,5)=(4,1)+(6,15)=(10,16)$ de donde $x=10$, $y=16$.
  2. $2(1,x)+3(y,2)=(2,2x)+(3y,6)=(2+3y,2x+6)=(8,-2)$. $$\left. \begin{array}{l} 2+3y=8 \\ 2x+6=-2 \end{array} \right\} \Rightarrow x=-4, \ y=2$$
  3. Aplicamos la fórmula $|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ a nuestros vectores.

Para el primero obtenemos: $|(4,1)|=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$.

Y para el segundo: $|(8,-2)|=\sqrt{8^2+(-2)^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$.

  1. $(4,2)$
  2. $(10,16)$
  3. $\sqrt{17}$ y $2\sqrt{17}$

Calcula las componentes de los vectores que tienen como origen y extremo:

  1. Origen $(-1,3)$, extremo $(0,6)$.
  2. Origen $(2,-1)$, extremo $(1,1)$.
  3. Origen $(5,1)$, extremo $(-2,1)$.
  4. Calcula el módulo de los vectores obtenidos en los apartados anteriores.

Restamos en cada caso las componentes del extremo a las del origen.

  1. $(0,6)-(-1,3)=(1,3)$.
  2. $(1,1)-(2,-1)=(-1,2)$.
  3. $(-2,1)-(5,1)=(-7,0)$.
  4. Usamos la fórmula $|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$, obteniendo: $\begin{array}{l} |(1,3)|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10} \ |(-1,2)|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5} \ |(-7,0)|=\sqrt{(-7)^2+0^2}=\sqrt{49}=7 \end{array} $
  1. $(1,3)$
  2. $(-1,2)$
  3. $(-7,0)$
  4. $\sqrt{10}$, $\sqrt{5}$, $7$

Calcula las componentes del extremo del vector $\overrightarrow{AB}=(-2,5)$ si sabemos que $A$ es $(1,1)$. Y encuentra el módulo del vector $\overrightarrow{AB}$.

Como las componentes del vector las obtenemos restando a las del extremo las del origen, se tiene que cumplir: $(b_1,b_2)-(1,1)=(-2,5)$ de donde: $$ (b_1,b_2)=(-2,5)+(1,1)=(-1,6)$$ El módulo del vector $\overrightarrow{AB}$ será, usando la fórmula $|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$: $$ |\overrightarrow{AB}|=|(-2,5)|=\sqrt{(-2)^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$$

$(-1,6)$, $\sqrt{29}$.

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