Conceptos fundamentales de los vectores
Un vector fijo $\overrightarrow{AB}$ es un segmento orientado que queda determinado por el origen $A$ y el extremo $B$.
as características principales de un vector fijo $\overrightarrow{AB}$ son las siguientes:
- Dirección de un vector fijo $\overrightarrow{AB}$: es la determinada por la recta que contiene $\overrightarrow{AB}$ y todas sus paralelas.
- Sentido de un vector fijo $\overrightarrow{AB}$: es el que va del origen al extremo (determinado por la punta de la flecha).
- Módulo de un vector fijo $\overrightarrow{AB}$: es la longitud del segmento $AB$. Se representa por $|\overrightarrow{AB}|$ y siempre es un número positivo o zero.
Por ejemplo, una calle tiene sentido prohibido, no dirección prohibida. O bien, en una misma calle pueden haber dos sentidos, pero siempre tendrá una única dirección.
Clases de vectores
Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.
Los vectores representados en la siguiente imagen son equipolentes.
El conjunto de todos los vectores equipolentes a un vector dado $\overrightarrow{AB}$, se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido.
Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, son los vectores fijos que tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se encuentran en la misma recta.
Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.
$\vec{u}$ y $-\vec{u}$ son vectores opuestos dado que tienen el mismo módulo y dirección, en cambio su sentido es el contrario.
Los vectores unitarios son aquellos en que su módulo es $1$, es decir, $|\vec{u}|=1$.
Cómo determinar un vector
Conociendo las coordenadas del origen $A$, y del extremo $B$, podemos determinar las componentes del vector $\overrightarrow{AB}$ que forman $A$ y $B$, restando a las coordenadas del extremo las del origen: $$\overrightarrow{AB}= (x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2-x_1, y_2-y_1)$$ Donde $A$ es el punto $(x_1,y_1)$ y $B$ el punto $(x_2,y_2)$.
Si $A=(3, -1)$ y $B=(5,2)$, las componentes del vector $\overrightarrow{AB}$ son: $(5,2)-(3,-1)=(5-3,2-(-1))=(2,3)$.
Recordamos que en este caso $A$ es el origen y $B$ es el extremo del vector $\overrightarrow{AB}$.
Cómo calcular el módulo de un vector
- A partir de sus componentes. Si tenemos el vector $\vec{u}=(u_1,u_2)$, el módulo de $\vec{u}$ es: $$|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$
Si $\vec{u}=(3,4)$ su módulo es: $|\vec{u}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
- A partir de las coordenadas de los puntos. Si $A=(x_1,y_1)$ y $B=(x_2,y_2)$, entonces: $$ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
Si $A=(-2,3)$ y $B=(2,0)$, el módulo de $\overrightarrow{AB}$, es:
$$ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(2-(-2))^2+(0-3)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$$