Conceptes fonamentals dels vectors
Un vector fix $\overrightarrow{AB}$ és un segment orientat que queda determinat per l'origen $A$ i l'extrem $B$.
Les característiques principals d'un vector fix $\overrightarrow{AB}$ són les següents:
- Direcció d'un vector fix $\overrightarrow{AB}$: És la determinada per la recta que conté $\overrightarrow{AB}$ i totes les seves paral·leles.
- Sentit d'un vector fix $\overrightarrow{AB}$: És el que va de l'origen a l'extrem (determinat per la punta de la fletxa).
- Mòdul d'un vector fix $\overrightarrow{AB}$: És la longitud del segment $AB$. Es representa per $|\overrightarrow{AB}|$ i sempre és un nombre positiu o zero.
Per exemple, un carrer té sentit prohibit, no direcció prohibida. O bé, en un mateix carrer poden haver dos sentits, però sempre tindrà una única direcció.
Classes de vectors
Dos vectors són equipol·lents quan tenen igual mòdul, direcció i sentit.
Els vectors representats en la següent imatge són equipol·lents.
El conjunt de tots els vectors equipol·lents a un vector donat $\overrightarrow{AB}$, s'anomena vector lliure. És a dir els vectors lliures tenen el mateix mòdul, direcció i sentit.
Els vectors lligats són vectors equipol·lents que actuen en la mateixa recta. És a dir, són els vectors fixos que tenen el mateix mòdul, direcció, sentit i es troben en la mateixa recta.
Els vectors oposats tenen el mateix mòdul, direcció, i diferent sentit.
$\vec{u}$ i $-\vec{u}$ són vectors oposats ja que tenen el mateix mòdul i direcció, en canvi el seu sentit és el contrari.
Els vectors unitaris són aquells tals que el seu mòdul és $1$, és a dir, $|\vec{u}|=1$.
Com determinar un vector
Coneixent les coordenades de l'origen $A$, i de l'extrem $B$, podem determinar les components del vector $\overrightarrow{AB}$ que formen $A$ i $B$, restant a les coordenades de l'extrem les de l'origen: $$\overrightarrow{AB}= (x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2-x_1, y_2-y_1)$$ On, $A$ és el punt $(x_1,y_1)$ i $B$ el punt $(x_2,y_2)$.
Si $A=(3, -1)$ i $B=(5,2)$, les components del vector $\overrightarrow{AB}$ són: $(5,2)-(3,-1)=(5-3,2-(-1))=(2,3)$.
Recordem que en aquest cas $A$ és l'origen i $B$ és l'extrem del vector $\overrightarrow{AB}$.
Com calcular el mòdul d'un vector
- A partir dels seus components. Si tenim el vector $\vec{u}=(u_1,u_2)$, el mòdul de $\vec{u}$ és: $$|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$
Si $\vec{u}=(3,4)$ el seu mòdul és: $|\vec{u}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
- A partir de les coordenades dels punts. Si $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$, aleshores: $$ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
Si $A=(-2,3)$ i $B=(2,0)$, el mòdul de $\overrightarrow{AB}$, és:
$$ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(2-(-2))^2+(0-3)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$$