Introducción a los intervalos
Decir cuáles de los siguientes conjuntos son o no acotados:
a) $A=\{x \ | \ x\leq3 \}$
b) $B=\{x \ | \ x \ \text{ es potencia positiva de } 2 \}$
c) $C=\{x \ | \ x=2 \text{ o bien } x=5 \}$
d) $D=\{x \ | \ 0 < x < 1 \}$
e) $\mathbb{N}$
Además, escribir en forma de intervalos los conjuntos que admiten esa notación.
a) Obsérvese que $A = (-\infty,3]$ y por definición de acotación, un conjunto se dice acotado si el valor absoluto de todos sus elementos es menor o igual que un cierto número. En este caso, como el intervalo no tiene extremo inferior, no puede ser un conjunto acotado.
b) El conjunto $B =\{x \ | \ x=2^k, \ k\in\mathbb{N}\}$ y como $k$ puede ser cualquier número natural, el conjunto $B$ no es acotado.
c) $C = \{2,5\}$ y, por lo tanto, tomando $M = 5$, vemos que $C$ es un conjunto acotado dado que $2,5 \leq 5$.
d) El conjunto $D$ se puede rescribir en forma de intervalo, o sea, $D = (0,1)$. Además, es un conjunto cerrado porque tomando $M = 1$, se cumple que $x\leq1 \ \forall x\in C$.
e) El conjunto de los números naturales es no acotado porque no existe ningún número positivo tal que todos los naturales sean menores o iguales que dicho número.
a) No acotado y se puede reescribir como $A = (-\infty,3]$.
b) No acotado.
c) Acotado.
d) Acotado y se puede reescribir como $D = (0,1)$.
e) No acotado.