Término general de una progresión aritmética
Encuentra el término general de la progresión aritmética:
$$(1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}, 1+3\sqrt{2}, 1+5\sqrt{2}, 1+7\sqrt{2}, \ldots)$$
Veamos cuanto vale la diferencia $$d=(1+\sqrt{2})-(1-\sqrt{2})=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$ Y como el primer término es $a_1=1-\sqrt{2}$, nos queda que:
$$a_n=(1-\sqrt{2})+(n-1)\cdot 2 \cdot \sqrt{2}$$
Arreglando esta expresión tenemos:
$$a_n=(1-\sqrt{2})+2\sqrt{2}(n-1)=1-\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}\cdot n=2\sqrt{2}n+1-3\sqrt{2}$$
$$a_n=2\sqrt{2}n+1-3\sqrt{2}$$
Encuentra el término que ocupa el puesto cuarto, octavo y centésimo decimotercero en la progresión aritmética:
$$\Big(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{4}, 1, \dfrac{5}{4}, \dfrac{3}{2}, \ldots \Big)$$
La diferencia es $d=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$, y como que $a_1=\dfrac{1}{2}$, nos queda que $$a_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}(n-1)=\dfrac{n}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{n+1}{4}$$
De tal forma que:
$$a_4=\dfrac{4+1}{4}=\dfrac{5}{4}, \ a_8=\dfrac{9}{4}$$ y $$a_{113}=\dfrac{114}{4}=\dfrac{57}{2}=28+\dfrac{1}{2}$$
$a_4=\dfrac{5}{4}, \ a_8=\dfrac{9}{4}$ y $a_{113}=\dfrac{57}{2}$