Término general de una progresión aritmética

Para encontrar el término general de una progresión aritmética consideramos la fórmula que define a estas progresiones: $a_{n+1}-a_n=d$.

Esta igualdad nos expresa que, en las progresiones aritméticas cada término se obtiene sumando la diferencia al anterior. Así, podemos definir la progresión de forma recursiva y tenemos que: $$a_{n+1}=a_n+d$$

Si aplicamos esta ley recursivamente para construir la sucesión, obtenemos que:

$$a_2=a_1+d$$ $$a_3=a_2+d=(a_1+d)+d=a_1+2d$$ $$a_4=a_3+d=(a_1+2d)+d=a_1+3d$$ $$a_5=a_4+d=(a_1+3d)+d=a_1+4d$$ $$\ldots$$

Y, en general nos queda que $$a_n=a_1+(n-1)d$$ Esta expresión nos relaciona cualquier término de la sucesión con el primero a través de la diferencia de la progresión.

Queremos encontrar qué número ocupa la posición $37$ en la sucesión $$(8,11,14,17,20,\ldots)$$ Observamos que se trata de una progresión aritmética porque la diferencia entre todos los términos es constante e igual a $3$.

Como el primer término es $a_1=8$, y la diferencia es $d=3$, nos queda que: $$a_n=8+(n-1)\cdot 3$$ Como queremos encontrar el término $a_{37}$, tenemos que: $$a_{37}=8+(37-1)\cdot 3=8+3\cdot 36 = 8+108=116$$