Terme general d'una progressió aritmètica

Per trobar el terme general d'una progressió aritmètica considerem la fórmula que defineix aquestes progressions: $a_{n+1}-a_n=d$.

Aquesta igualtat ens expressa que, en les progressions aritmètiques cada terme s'obté sumant la diferència a l'anterior. Així, podem definir la progressió de manera recursiva i tenim que: $$a_{n+1}=a_n+d$$

Si apliquem aquesta llei recursivament per construir la successió, obtenim que: $$a_2=a_1+d$$ $$a_3=a_2+d=(a_1+d)+d=a_1+2d$$ $$a_4=a_3+d=(a_1+2d)+d=a_1+3d$$ $$a_5=a_4+d=(a_1+3d)+d=a_1+4d$$ $$\ldots$$

I, en general tenim ens queda que $$a_n=a_1+(n-1)d$$ Aquesta expressió ens relaciona qualsevol terme de la successió amb el primer a través de la diferència de la progressió.

Volem trobar quin nombre ocupa la posició $37$ en la successió $$(8,11,14,17,20,\ldots)$$ Observem que es tracta d'una progressió aritmètica perquè la diferència entre tots els termes és constant i igual a $3$.

Com el primer terme és $a_1=8$, i la diferència és $d=3$, ens queda que: $$a_n=8+(n-1)\cdot 3$$ Com volem trobar el terme $a_{37}$, hem de fer: $$a_{37}=8+(37-1)\cdot 3=8+3\cdot 36 = 8+108=116$$