Raíz y factorización de un polinomio

Intentaremos modificar el polinomio para tener una expresión similar al cuadrado de la suma:

$$x^2+10x+25=x^2+2\cdot5x+5^2=(x+5)^2$$

Realizamos el cambio de variable $x^2=t$:

$$t^2-625$$

Y ahora podemos aplicar la diferencia de cuadrados:

$$t^2-625=(t+25)\cdot(t-25)$$

Las soluciones son $t=25$ y $t=-25$. Deshacemos el cambio ahora:

$$x^2=25 \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} x=5 \\ x=-5 \end{array} \right.$$

El otro polinomio $x^2+25$ es irreductible.

Buscamos los candidatos a raíces del polinomio explicitando los divisores del término independiente (en este caso $6$):

valores: $1,-1,2,-2,3,-3$

Por lo tanto:

$$p(1)=1^2+1-6=-4$$

$$p(-1)=(-1)^2+(-1)-6=-6$$

$$p(2)=2^2+2-6=0$$

$$p(-2)=(-2)^2+(-2)-6=-4$$

$$p(3)=3^2+3-6=6$$

$$p(-3)=(-3)^2+(-3)-6=0$$