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División de polinomios
Considerando los siguientes polinomios:
$$p(x)=-x^3+x$$
$$q(x)=2x^3-x-3$$
$$r(x)=-x+1$$
Realizar la operación siguiente: $(r(x)+q(x))\cdot p(x)$
Primero realizamos la suma,
| r(x) | q(x) | r(x)+q(x) | |
| grado 0 | $1$ | $-3$ | $-2$ |
| grado 1 | $-x$ | $-x$ | $-2x$ |
| grado 2 | $0$ | $0$ | $0$ |
| grado 3 | $0$ | $2x^3$ | $2x^3$ |
$$r(x)+q(x)=2x^3-2x-2$$
Y ahora el producto por los monomios de $p(x)$,
$$x\cdot(r(x)+q(x))=x\cdot(2x^3-2x-2)=2x^4-2x^2-2x$$
$$-x^3\cdot(r(x)+q(x))=-x^3\cdot(2x^3-2x-2)=-x^6+2x^4+2x^3$$
Juntamos los dos polinomios y agrupamos los términos semejantes:
$$(r(x)+q(x))\cdot p(x)=(2x^4-2x^2-2x)+(-x^6+2x^4+2x^3)=$$
$$=-x^6+4x^4+2x^3-2x^2-2x$$
Realizar la siguiente división de polinomios $\dfrac{x^4-2x+3}{x^2-2}$
Completamos y iniciamos la tabla
| $x^4$ | $0$ | $0$ | $-2x$ | $3$ | $x^2-2$ |
Iteración 1:
$$\dfrac{x^4}{x^2}=x^2$$
$$x^2\cdot(x^2-2)=x^4-2x^2$$
| $x^4$ | $0$ | $0$ | $-2x$ | $3$ | $x^2-2$ |
| $-x^4$ | $0$ | $+2x^2$ | $0$ | $0$ | $x^2$ |
| $0$ | $0$ | $+2x^2$ | $-2x$ | $3$ |
Iteración 2:
$$\dfrac{2x^2}{x^2}=2$$
$$2\cdot(x^2-2)=2x^2-4$$
| $x^4$ | $0$ | $0$ | $-2x$ | $3$ | $x^2-2$ |
| $-x^4$ | $0$ | $+2x^2$ | $0$ | $0$ | $x^2+2$ |
| $0$ | $0$ | $+2x^2$ | $-2x$ | $3$ | |
| $-2x^2$ | $0$ | $+4$ | |||
| $0$ | $-2x$ | $7$ |
Fin del proceso, ya que:
grado$(-2x+7)=1 < 2=$grado$(x^2-2)$
Cociente: $x^2+2$
Residuo: $-2x+7$