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División de polinomios
A continuación explicaremos un método para dividir polinomios de una variable. Utilizaremos un ejemplo para ilustrar el procedimiento:
Consideremos,
$$p(x)=x^5-3x^3+2x-1$$
$$q(x)=x^2-1-2x$$
Calcúlese el cociente $\dfrac{p(x)}{q(x)}$.
- Completar y ordenar los dos polinomios.
En nuestro caso,
$$p(x)=x^5+0x^4-3x^3+0x^2+2x-1$$
$$q(x)=x^2-2x-1$$
- Escribir los polinomios como si nos dispusiéramos a realizar una división tradicional de dos cifras (a la izquierda el dividendo, a la derecha el divisor). Consideremos que cada monomio sea una cifra.
Aquí utilizaremos la siguiente tabla:
| $x^5$ | $0$ | $-3x^3$ | $0$ | $2x$ | $-1$ | $x^2-2x-1$ |
- Dividir el primer monomio del dividendo por el primer monomio del divisor.
En nuestro caso: $\dfrac{x^5}{x^2}=x^3$
- Multiplicar el resultado anterior por cada monomio del polinomio divisor y restarle el resultado al polinomio dividendo.
El producto resulta $x^3\cdot q(x)=x^3(x^2-2x-1)=x^5-2x^4-x^3$
Y lo restamos al dividendo. A continuación lo esquematizamos en el cuadro:
| $x^5$ | $0$ | $-3x^3$ | $0$ | $2x$ | $-1$ | $x^2-2x-1$ |
| $-x^5$ | $+2x^4$ | $+x^3$ | $0$ | $0$ | $0$ | $x^3$ |
| $0$ | $+2x^4$ | $-2x^3$ | $0$ | $2x$ | $-1$ |
El resultado de la resta se muestra en la tercera fila. Anotamos el resultado de la divisón de monomios anterior justo debajo del divisor: será nuestro cociente.
Fijémonos que en la casilla correspondiente al grado del polinomio que hemos dividido, en este caso $5$, aparece un $0$. En cada paso, esto siempre deberá ocurrir.
- Realizamos los pasos $3$ y $4$ hasta que el grado del polinomio a dividir sea menor que el grado del polinomio divisor.
Hacemos otra iteración: $\dfrac{2x^4}{x^2}=2x^2$
$$2x^2(x^2-2x-1)=2x^4-4x^3-2x^2$$
| $x^5$ | $0$ | $-3x^3$ | $0$ | $2x$ | $-1$ | $x^2-2x-1$ |
| $-x^5$ | $+2x^4$ | $+x^3$ | $0$ | $0$ | $0$ | $x^3+2x^2$ |
| $0$ | $+2x^4$ | $-2x^3$ | $0$ | $2x$ | $-1$ | |
| $-2x^4$ | $4x^3$ | $2x^2$ | $0$ | $0$ | ||
| $0$ | $2x^3$ | $2x^2$ | $2x$ | $-1$ |
Efectivamente, tenemos un $0$ en el monomio de grado $4$. Así pues, proseguimos con otra iteración:
$$\dfrac{2x^3}{x^2}=2x$$
$$2x(x^2-2x-1)=2x^3-4x^2-2x$$
| $x^5$ | $0$ | $-3x^3$ | $0$ | $2x$ | $-1$ | $x^2-2x-1$ |
| $-x^5$ | $+2x^4$ | $+x^3$ | $0$ | $0$ | $0$ | $x^3+2x^2+2x$ |
| $0$ | $+2x^4$ | $-2x^3$ | $0$ | $2x$ | $-1$ | |
| $-2x^4$ | $4x^3$ | $2x^2$ | $0$ | $0$ | ||
| $0$ | $2x^3$ | $2x^2$ | $2x$ | $-1$ | ||
| $-2x^3$ | $+4x^2$ | $+2x$ | $0$ | |||
| $0$ | $6x^2$ | $4x$ | $-1$ |
Volvemos a ver que aparece un $0$ en el monomio de grado $3$. Realizamos otra iteración:
$$\dfrac{6x^2}{x^2}=6$$
$$6(x^2-2x-1)=6x^2-12x-6$$
| $x^5$ | $0$ | $-3x^3$ | $0$ | $2x$ | $-1$ | $x^2-2x-1$ |
| $-x^5$ | $+2x^4$ | $+x^3$ | $0$ | $0$ | $0$ | $x^3+2x^2+2x+6$ |
| $0$ | $+2x^4$ | $-2x^3$ | $0$ | $2x$ | $-1$ | |
| $-2x^4$ | $+4x^3$ | $+2x^2$ | $0$ | $0$ | ||
| $0$ | $2x^3$ | $2x^2$ | $2x$ | $-1$ | ||
| $-2x^3$ | $+4x^2$ | $+2x$ | $0$ | |||
| $0$ | $6x^2$ | $4x$ | $-1$ | |||
| $-6x^2$ | $+12x$ | $+6$ | ||||
| $0$ | $16x$ | $+5$ |
Efectivamente, vuelve a aparecer un $0$ en el monomio de grado $2$. Llegado este punto, el polinomio que queremos dividir tiene grado $1$, que es menor que el grado del divisor, que es $2$. En este momento, damos por finalizada la división. Entonces:
El cociente será el polinomio que queda justo debajo del divisor: $x^3+2x^2+2x+6$
El residuo será el polinomio que queda al final, cuyo grado será siempre inferior al del divisor: $16x+5$
COMPROBACIÓN
Para comprobar si hemos realizado correctamente la división, calcularemos: $$\mbox{cociente}\times\mbox{divisor}+\mbox{residuo}$$ y el resultado, en caso de haber realizado correctamente la operación, sería el dividendo.
Así pues, en el caso anterior: $$(x^3+2x^2+2x+6)\cdot(x^2-2x-1)+(16x+5)$$
Realizamos la multiplicación:
$$x^3\cdot(x^2-2x-1)=x^5-2x^4-x^3$$
$$2x^2\cdot(x^2-2x-1)=2x^4-4x^3-2x^2$$
$$2x\cdot(x^2-2x-1)=2x^3-4x^2-2x$$
$$6\cdot(x^2-2x-1)=6x^2-12x-6$$
Ahora lo sumamos
$$(x^5-2x^4-x^3)+(2x^4-4x^3-2x^2)+(2x^3-4x^2-2x)+$$
$$+(6x^2-12x-6)=x^5-3x^3-14x-6$$
Y si sumamos el residuo, obtenemos:
$$(x^5-3x^3-14x-6)+(16x+5)=x^5-3x^3+2x-1$$
que efectivamente coincide con el dividendo.
Referente a los grados de los polinomios resultantes, se comprueba que:
grado(cociente)=grado(dividendo)-grado(divisor)
grado(residuo) < grado(divisor)
En el ejemplo
$3$=grado($x^3+2x^2+2x+6$)=grado($x^5-3x^3+2x-1$)-grado($x^2-2x-1$)=$5-2=3$
grado($16x+5$)=$1 < 2$=grado($x^2-2x-1$)
Calcúlese el cociente $\dfrac{p(x)}{q(x)}$ con $p(x)=1-x^3$ y $q(x)=x+2$.
- Completamos y ordenamos
$$p(x)=-x^3+0x^2+0x+1$$
$$q(x)=x+2$$
- Iniciamos la tabla
| $-x^3$ | $0$ | $0$ | $1$ | $x+2$ |
Iteración 1 $$\dfrac{-x^3}{x}=-x^2$$ $$-x^2(x+2)=-x^3-2x^2$$
| $-x^3$ | $0$ | $0$ | $1$ | $x+2$ |
| $+x^3$ | $+2x^2$ | $0$ | $0$ | $-x^2$ |
| $0$ | $+2x^2$ | $0$ | $1$ |
Iteración 2 $$\dfrac{2x^2}{x}=2x$$ $$2x(x+2)=2x^2+4x$$
| $-x^3$ | $0$ | $0$ | $1$ | $x+2$ |
| $+x^3$ | $+2x^2$ | $0$ | $0$ | $-x^2+2x$ |
| $0$ | $+2x^2$ | $0$ | $1$ | |
| $-2x^2$ | $-4x$ | $0$ | ||
| $0$ | $-4x$ | $1$ |
Iteración 3 $$\dfrac{-4x}{x}=-4$$ $$-4(x+2)=-4x-8$$
| $-x^3$ | $0$ | $0$ | $1$ | $x+2$ |
| $+x^3$ | $+2x^2$ | $0$ | $0$ | $-x^2+2x-4$ |
| $0$ | $+2x^2$ | $0$ | $1$ | |
| $-2x^2$ | $-4x$ | $0$ | ||
| $0$ | $-4x$ | $1$ | ||
| $+4x$ | $+8$ | |||
| $0$ | $9$ |
Y vemos que
grado$(9)=0 < 1=$grado$(x+2)$
Por lo tanto, el proceso se termina. Realizamos la pertinente comprobación:
$$(-x^2+2x-4)(x+2)+(9)$$
Realizamos la multiplicación:
$$-x^2\cdot(x+2)=-x^3-2x^2$$
$$+2x\cdot(x+2)=2x^2+4x$$
$$-4\cdot(x+2)=-4x-8$$
Ahora lo sumamos
$$(-x^3-2x^2)+(2x^2+4x)+(-4x-8)=-x^3-8$$
Y sumando el residuo, obtenemos el dividendo:
$$(-x^3-8)+9=-x^3+1$$
Referente a los grados, se cumple:
$$2=\mbox{grado}(-x^2+2x-4)=\mbox{grado}(x^3+1)-\mbox{grado}(x+2)=3-1=2$$
grado$(9)=0 < 1=$grado$(16x+5)$