Divisió de polinomis
A continuació explicarem un mètode per dividir polinomis d'una variable. Utilitzarem un exemple per il·lustrar el procediment:
Considerem,
$$p(x)=x^5-3x^3+2x-1$$
$$q(x)=x^2-1-2x$$
Calculeu el quocient $\dfrac{p(x)}{q(x)}$.
- Completar i ordenar els dos polinomis.
En el nostre cas,
$$p(x)=x^5+0x^4-3x^3+0x^2+2x-1$$
$$q(x)=x^2-2x-1$$
- Escriure els polinomis com si ens disposéssim a realitzar una divisió tradicional de dues xifres (a l'esquerra el dividend, a la dreta el divisor). Considerem que cada monomi sigui una xifra.
Aquí utilitzarem la següent taula:
| $x^5$ | $0$ | $-3x^3$ | $0$ | $2x$ | $-1$ | $x^2-2x-1$ |
- Dividir el primer monomi del dividend pel primer monomi del divisor.
En el nostre cas: $\dfrac{x^5}{x^2}=x^3$
- Multiplicar el resultat anterior per cada monomi del polinomi divisor i restar el resultat al polinomi dividend.
El producte és $x^3\cdot q(x)=x^3(x^2-2x-1)=x^5-2x^4-x^3$
I ho restem al dividend. A continuació l'esquematitzem en el quadre:
| $x^5$ | $0$ | $-3x^3$ | $0$ | $2x$ | $-1$ | $x^2-2x-1$ |
| $-x^5$ | $+2x^4$ | $+x^3$ | $0$ | $0$ | $0$ | $x^3$ |
| $0$ | $+2x^4$ | $-2x^3$ | $0$ | $2x$ | $-1$ |
El resultat de la resta es mostra a la tercera fila. Anotem el resultat de la divisió de monomis anterior a sota del divisor: serà el nostre quocient.
Fixem-nos que a la casella corresponent al grau del polinomi que hem dividit, en aquest cas $5$, apareix un $0$. A cada pas, això sempre ha de passar.
- Realitzem els passos $3$ i $4$ fins que el grau del polinomi a dividir sigui menor que el grau del polinomi divisor.
Fem una altra iteració: $\dfrac{2x^4}{x^2}=2x^2$
$$2x^2(x^2-2x-1)=2x^4-4x^3-2x^2$$
| $x^5$ | $0$ | $-3x^3$ | $0$ | $2x$ | $-1$ | $x^2-2x-1$ |
| $-x^5$ | $+2x^4$ | $+x^3$ | $0$ | $0$ | $0$ | $x^3+2x^2$ |
| $0$ | $+2x^4$ | $-2x^3$ | $0$ | $2x$ | $-1$ | |
| $-2x^4$ | $4x^3$ | $2x^2$ | $0$ | $0$ | ||
| $0$ | $2x^3$ | $2x^2$ | $2x$ | $-1$ |
Efectivament, tenim un $0$ en el monomi de grau $4$. Així doncs, prosseguim amb una altra iteració:
$$\dfrac{2x^3}{x^2}=2x$$
$$2x(x^2-2x-1)=2x^3-4x^2-2x$$
| $x^5$ | $0$ | $-3x^3$ | $0$ | $2x$ | $-1$ | $x^2-2x-1$ |
| $-x^5$ | $+2x^4$ | $+x^3$ | $0$ | $0$ | $0$ | $x^3+2x^2+2x$ |
| $0$ | $+2x^4$ | $-2x^3$ | $0$ | $2x$ | $-1$ | |
| $-2x^4$ | $4x^3$ | $2x^2$ | $0$ | $0$ | ||
| $0$ | $2x^3$ | $2x^2$ | $2x$ | $-1$ | ||
| $-2x^3$ | $+4x^2$ | $+2x$ | $0$ | |||
| $0$ | $6x^2$ | $4x$ | $-1$ |
Tornem a veure que apareix un $0$ en el monomi de grau $3$. Realitzem una altra iteració:
$$\dfrac{6x^2}{x^2}=6$$
$$6(x^2-2x-1)=6x^2-12x-6$$
| $x^5$ | $0$ | $-3x^3$ | $0$ | $2x$ | $-1$ | $x^2-2x-1$ |
| $-x^5$ | $+2x^4$ | $+x^3$ | $0$ | $0$ | $0$ | $x^3+2x^2+2x+6$ |
| $0$ | $+2x^4$ | $-2x^3$ | $0$ | $2x$ | $-1$ | |
| $-2x^4$ | $+4x^3$ | $+2x^2$ | $0$ | $0$ | ||
| $0$ | $2x^3$ | $2x^2$ | $2x$ | $-1$ | ||
| $-2x^3$ | $+4x^2$ | $+2x$ | $0$ | |||
| $0$ | $6x^2$ | $4x$ | $-1$ | |||
| $-6x^2$ | $+12x$ | $+6$ | ||||
| $0$ | $16x$ | $+5$ |
Efectivament, torna a aparèixer un $0$ en el monomi de grau $2$. Arribat aquest punt, el polinomi que volem dividir té grau $1$, que és menor que el grau del divisor, que és $2$. En aquest moment, donem per finalitzada la divisió. Llavors:
El quocient serà el polinomi que queda just sota del divisor: $x^3+2x^2+2x+6$
El residu serà el polinomi que queda al final, el grau serà sempre inferior al del divisor: $16x+5$
COMPROVACIÓ
Per comprovar si hem realitzat correctament la divisió, calcularem: $$\mbox{quocient}\times\mbox{divisor}+\mbox{residu}$$ i el resultat, en cas d'haver realitzat correctament l'operació, seria el dividend.
Així doncs, en el cas anterior: $$(x^3+2x^2+2x+6)\cdot(x^2-2x-1)+(16x+5)$$
Realitzem la multiplicació:
$$x^3\cdot(x^2-2x-1)=x^5-2x^4-x^3$$
$$2x^2\cdot(x^2-2x-1)=2x^4-4x^3-2x^2$$
$$2x\cdot(x^2-2x-1)=2x^3-4x^2-2x$$
$$6\cdot(x^2-2x-1)=6x^2-12x-6$$
Ara els sumem
$$(x^5-2x^4-x^3)+(2x^4-4x^3-2x^2)+(2x^3-4x^2-2x)+$$
$$+(6x^2-12x-6)=x^5-3x^3-14x-6$$
I si sumem el residu, obtenim:
$$(x^5-3x^3-14x-6)+(16x+5)=x^5-3x^3+2x-1$$
que efectivament coincideix amb el dividend.
Referent als graus dels polinomis resultants, es comprova que:
grau(quocient)=grau(dividend)-grau(divisor)
grau(residu) < grau(divisor)
En l'exemple
$3$=grau($x^3+2x^2+2x+6$)=grau($x^5-3x^3+2x-1$)-grau($x^2-2x-1$)=$5-2=3$
grau($16x+5)=1 < 2=$grau($x^2-2x-1$)
Calculeu el quocient $\dfrac{p(x)}{q(x)}$ con $p(x)=1-x^3$ i $q(x)=x+2$.
- Completem i ordenem
$$p(x)=-x^3+0x^2+0x+1$$
$$q(x)=x+2$$
- Iniciem la taula
| $-x^3$ | $0$ | $0$ | $1$ | $x+2$ |
Iteració 1 $$\dfrac{-x^3}{x}=-x^2$$ $$-x^2(x+2)=-x^3-2x^2$$
| $-x^3$ | $0$ | $0$ | $1$ | $x+2$ |
| $+x^3$ | $+2x^2$ | $0$ | $0$ | $-x^2$ |
| $0$ | $+2x^2$ | $0$ | $1$ |
Iteració 2 $$\dfrac{2x^2}{x}=2x$$ $$2x(x+2)=2x^2+4x$$
| $-x^3$ | $0$ | $0$ | $1$ | $x+2$ |
| $+x^3$ | $+2x^2$ | $0$ | $0$ | $-x^2+2x$ |
| $0$ | $+2x^2$ | $0$ | $1$ | |
| $-2x^2$ | $-4x$ | $0$ | ||
| $0$ | $-4x$ | $1$ |
Iteració 3 $$\dfrac{-4x}{x}=-4$$ $$-4(x+2)=-4x-8$$
| $-x^3$ | $0$ | $0$ | $1$ | $x+2$ |
| $+x^3$ | $+2x^2$ | $0$ | $0$ | $-x^2+2x-4$ |
| $0$ | $+2x^2$ | $0$ | $1$ | |
| $-2x^2$ | $-4x$ | $0$ | ||
| $0$ | $-4x$ | $1$ | ||
| $+4x$ | $+8$ | |||
| $0$ | $9$ |
I veiem que
grau$(9)=0 < 1=$grau$(x+2)$
Per tant, el procés s'acaba. Realitzem la pertinent comprovació:
$$(-x^2+2x-4)(x+2)+(9)$$
Realitzem la multiplicació:
$$-x^2\cdot(x+2)=-x^3-2x^2$$
$$+2x\cdot(x+2)=2x^2+4x$$
$$-4\cdot(x+2)=-4x-8$$
Ara els sumem
$$(-x^3-2x^2)+(2x^2+4x)+(-4x-8)=-x^3-8$$
I sumant el residu, obtenim el dividend:
$$(-x^3-8)+9=-x^3+1$$
Pel que fa als graus, es compleix:
$$2=\mbox{grau}(-x^2+2x-4)=\mbox{grau}(x^3+1)-\mbox{grau}(x+2)=3-1=2$$
grau$(9)=0 < 1=$grau$(16x+5)$