Definición de números complejos

1. $3x^2+27=0 \ \Rightarrow \ 3x^2=-27 \ \Rightarrow \ x=\pm \sqrt{-\dfrac{27}{3}}=\pm 3i$
2. $8x^2+4x-2=0 \ \Rightarrow$ $ \displaystyle \begin{array}{rl} x &=\frac{-4\pm\sqrt{16-4\cdot8\cdot2}}{16}= \frac{-4\pm\sqrt{-48}}{16}=\frac{-1}{4}\pm \frac{i\sqrt{48}}{16}\ &=\frac{-1}{4}\pm \frac{i\sqrt{2^4\cdot3}}{16} = \frac{-1}{4}\pm \frac{i\cdot 2^2\sqrt{3}}{16}= \frac{-1}{4}\pm \frac{i\sqrt{3}}{4} \end{array} $

Si deben tener un múltiplo de la unidad imaginaria lo más fácil es coger un múltiplo cualquiera (es decir un número cualquiera multiplicando $i$): $$12i=x \ \Rightarrow \ (12i)^2=x^2 \ \Rightarrow \ 144i^2=x^2 \ \Rightarrow \ -144=x^2 \ \Rightarrow \ x^2+144=0$$ tiene $12i$ como solución, y $12i$ es múltiplo de la unidad imaginaria $i$. De la misma forma se obtiene que $x^2+169=0$ tiene un múltiplo de $i$ como solución que de hecho es $13i$.

El primero es un número complejo, pero no es imaginario puro pues tiene parte real. El número complejo imaginario puro es $\sqrt{-27}$. Lo es porque es un múltiplo de la unidad imaginaria.