Propiedad del supremo

Supongamos que $\mathbb{N}$ estuviera acotado superiormente. Por la propiedad del supremo, debería existir $\alpha=\sup\mathbb{N}$. Observemos que este $\alpha$ es tal que $\alpha\geq n$ para todo $n\in\mathbb{N}$. En particular, también podemos afirmar que $\alpha\geq n+1$ para todo $n\in\mathbb{N}$, pues podemos aplicar la desigualdad anterior para el siguiente natural de cada $n\in\mathbb{N}$, que es también un natural. Por tanto, $\alpha-1\geq n$ para todo $n\in\mathbb{N}$, llegando a la conclusión de que $\alpha-1<\alpha$ es también una cota superior. Esto contradice el hecho de que $\alpha$ es el supremo. Como hemos llegado a una contradicción nuestra premisa inicial de que $\mathbb{N}$ está acotado debe ser falsa.

Para demostrar la propiedad arquimediana, dado $\varepsilon>0$ consideremos el número real $1/\varepsilon$. Como $\mathbb{N}$ no está acotado, $1/\varepsilon$ no puede ser una cota superior, y por tanto debe existir un cierto $n\in\mathbb{N}$ tal que $1/\varepsilon