Propiedad del supremo

En este tema vamos a estudiar la propiedad más importante de los números reales, conocida como la propiedad del supremo. Se dice que esta es la propiedad más importante porque, por un lado, es la que caracteriza al conjunto de los números reales frente al de los racionales (pues estos no la poseen) y, por otro, es en la que se basa la demostración de los resultados esenciales del cálculo y el análisis (tales como el Teorema de Bolzano).

Conjuntos acotados

Se dice que un subconjunto $A\subseteq\mathbb{R}$ de los números reales está acotado superiormente si existe un cierto número real $x\in\mathbb{R}$ tal que $$x\geq a\text{ para todo }a\in A.$$ En este caso, decimos que $x$ es una cota superior de $A$, o que $A$ está acotado superiormente por $x$.

Si consideramos el conjunto $$A=\{x\in\mathbb{R}\mid 0\leq x<1\},$$ claramente $72$ es una cota superior, y por tanto $A$ es un conjunto acotado superiormente. Observemos que también son cotas superiores $10$ o $100$. Por tanto, un conjunto acotado superiormente no tiene una única cota superior; de hecho, tiene infinitas.

El conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ no está acotado superiormente: para todo número real existe un número natural más grande que este. Tampoco estarían acotados superiormente el conjunto de los números pares o el propio conjunto de los números reales $\mathbb{R}$, pues este no tiene un "último elemento", es decir, un elemento mayor que todos los otros.

Volvamos a considerar el conjunto $$A=\{x\in\mathbb{R}\mid 0\leq x<1\},$$ definido en el anterior ejemplo. Aunque hemos visto que tiene muchas cotas superiores, hay una de ellas que parece ser la más pequeña, es decir, que parece ser el mínimo número a partir del cual los que cojamos mayores serán cotas superiores. Este número sería el $1$.

Esto nos lleva a formalizar el concepto de cota superior mínima o supremo: dado un conjunto real $A$ acotado superiormente, decimos que $y\in\mathbb{R}$ es una cota superior mínima o supremo de $A$ si:

Observemos que si $y_1$ e $y_2$ son supremos de $A$, por definición tanto $y_1\leq y_2$ como $y_2\leq y_1$, y por tanto $y_1=y_2$. Es decir, en caso de que $A$ tenga supremo este es único, y podemos hablar de el supremo de $A$. Para abreviar, lo denotaremos como $\sup A$.

Vamos a demostrar que $$\sup A=\sup \{x\in\mathbb{R}\mid 0\leq x<1\}=1.$$ Por un lado, es evidente que $1$ es una cota superior de $A$. Por el otro, si $y$ fuera una cota superior de $A$ tal que $y<1$ entonces existiría un número real $\varepsilon$ tal que $0\leq y<\varepsilon<1$. Ahora bien, por definición $\varepsilon\in A$, y a su vez $y<\varepsilon$, contradiciendo el hecho de que $y$ sea cota superior. Es decir, que toda cota superior $y$ de $A$ es tal que $y\geq 1$ y por tanto hemos demostrado que $\sup A=1$.

Análogamente a las definiciones que acabamos de dar, podemos definir los conjuntos acotados inferiormente como aquellos para los que existe un $x\in\mathbb{R}$, llamado cota inferior, tal que $x\leq a$ para todo $a\in A$. A la más grande de las cotas inferiores la llamamos cota inferior máxima o ínfimo, y la denotamos por $\inf A$.

La propiedad del supremo

Nos centraremos en lo que sigue en el estudio de los supremos, pues el de los ínfimos es totalmente análogo.

Hasta ahora hay una cuestión que no hemos abordado, a saber, la de si todos los conjuntos de números reales tienen supremo. Como hemos visto hay conjuntos que no están acotados superiormente, y que por tanto no pueden tener supremo. Ahora bien, para los conjuntos acotados superiormente, a excepción del vacío, todos tienen supremo. Este hecho, nada evidente, se conoce como la propiedad del supremo:

Propiedad del supremo: Si $A\subseteq\mathbb{R}$ es un conjunto de números reales no vacío, $A\neq\emptyset$, que está acotado superiormente, entonces posee una cota superior mínima o supremo.

Debemos pensar en esta propiedad como uno de los axiomas que componen el cuerpo de los números reales. En realidad, formalmente lo que hacemos es definir los números reales como cualquier cuerpo con la propiedad del supremo (y otras propiedades algo más técnicas), y luego demostrar que podemos construir un cuerpo tal, y que este es único (salvo isomorfismos). No os desaniméis si os habéis perdido en algo de este último párrafo, pues no es más que una justificación de la razón de ser de este axioma. Seguid con la lectura y siempre podréis volver a este punto en cualquier otro momento.

Para algunos esta propiedad les podrá resultar evidente o que aporta poco. Veamos que los números racionales $\mathbb{Q}$ no la tienen, y que por tanto no es nada trivial. Consideremos por ejemplo este conjunto de racionales $$\tilde A=\{x\in\mathbb{Q}\mid x^2<2\}.$$ Claramente este conjunto está acotado superiormente en los racionales, por ejemplo por $2$ o por $5$. En cambio, no tiene un supremo racional. Para ver esto, observemos que, si pensamos $\tilde A$ como un subconjunto de los números reales, entonces con un razonamiento similar al del último ejemplo podemos ver que $\sup \tilde A=\sqrt{2}$. Entonces si $\tilde A$ tuviera un supremo racional $y\in\mathbb{Q}$, como $y$ también es real y hemos dicho que el supremo es único, $y=\sqrt{2}$. Esto es una contradicción, ya que $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$, y por tanto $\tilde A$ no tiene supremo en los racionales.

Para terminar, recalcar lo que hemos dicho al principio, es decir, que todas estas propiedades valen análogamente para el ínfimo. De hecho, es un ejercicio muy interesante, para comprobar que se ha entendido la propiedad del supremo, intentar demostrar a partir de ésta la análoga propiedad del ínfimo.

Practicar ejercicios