Distancia p-ádica entre dos números reales

1. Por la definición de distancia tenemos $$d_5\Big(3,-\dfrac{1}{8} \Big)=\Big|3-\dfrac{-1}{8}\Big|_5 = \Big|\dfrac{3\cdot8+1}{8}\Big|_5 = \Big|\dfrac{25}{8}\Big|_5$$

Según las notaciones anteriores tenemos que $a=25$ y $b=8$ con $m=1$ y $n=8$ y también $r=2$ y $s=0$. Entonces: $$\Big|\dfrac{25}{8}\Big|_5=5^{s-r}=5^{0-2}=\dfrac{1}{25}$$

Y tenemos $$d_5\Big(3,-\dfrac{1}{8} \Big)=\dfrac{1}{25}$$

2. Por la definición de distancia tenemos $$d_2 \Big(\dfrac{1}{3},\dfrac{3}{5} \Big)=\Big|\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{5}\Big|_2 = \Big|\dfrac{1\cdot5-3\cdot3}{3\cdot5}\Big|_2 = \Big|\dfrac{-4}{15}\Big|_2$$

Según las notaciones anteriores tenemos que $a=-4$ y $b=15$ con $m=-1$ y $n=15$ y también $r=2$ y $s=0$. Entonces: $$\Big|\dfrac{-4}{15}\Big|_2=2^{s-r}=2^{0-2}=\dfrac{1}{4}$$

Por tanto $$d_2\Big(\dfrac{1}{3},\dfrac{3}{5} \Big)=\dfrac{1}{4}$$

3. Por la definición de distancia tenemos $$d_{13}\Big(\dfrac{22}{17},\dfrac{1}{12} \Big)=\Big|\dfrac{22}{17}-\dfrac{1}{12}\Big|_{13} = \Big|\dfrac{12\cdot22-1\cdot17}{17\cdot12}\Big|_{13} = \Big|\dfrac{247}{204}\Big|_{13}$$

Según las notaciones anteriores tenemos que $a=247$ y $b=204$ con $m=19$ y $n=204$ y también $r=1$ y $s=0$. Entonces: $$\Big|\dfrac{247}{204}\Big|_{13}=13^{s-r}=13^{0-1}=\dfrac{1}{13}$$

Y en consecuencia $$d_{13}\Big(\dfrac{22}{17},\dfrac{1}{12} \Big)=\dfrac{1}{13}$$