Distancia p-ádica entre dos números reales

La distancia euclídea representa el concepto más intuitivo de distancia sobre la recta real. Aun así, podemos definir otras distancias, entre números racionales, que no corresponden a ningún concepto intuitivo.

Aunque solo presentaremos las definiciones correspondientes, estas nuevas distancias son clave para obtener resultados aritméticos.

Vamos ahora a definir la norma p-ádica:

Fijamos un número primo $p$. Para definir la norma de un número racional $\dfrac{a}{b}\neq 0$ debemos primero factorizar tanto $a$ como $b$, de hecho es suficiente ver cuantas veces son divisibles por $p$.

Supongamos entonces que $a=m\cdot p^r$ de manera que $p$ no divida a $m$, y $b=n\cdot p^s$ con $p$ no dividiendo a $n$.

Según estas definiciones, definimos la norma de $\dfrac{a}{b}$ como $$p^{s-r}$$ Escribiremos la norma de $\dfrac{a}{b}$ como $\Big| \dfrac{a}{b}\Big|_p$ y la llamaremos norma p-ádica.

Si $\dfrac{a}{b}=0$ entonces ponemos $\Big| \dfrac{a}{b}\Big|_p=0$.

No debemos confundir la notación entre $\Big| \dfrac{a}{b}\Big|$ y $\Big| \dfrac{a}{b}\Big|_p$. Cuando no pongamos subíndice siempre nos estaremos refiriendo a la norma euclídea.

También debemos tener en cuenta que cuando hablamos de normas p-ádicas, $p$ debe ser primo. Por tanto, no tiene sentido hablar, por ejemplo de la norma 4-ádica ni 6-ádica ya que ni $4$ ni $6$ son primos.

También podemos observar que para calcular $\Big| \dfrac{a}{b}\Big|_p$ no es necesario que $a$ y $b$ no tengan factores en común.

Como último comentario debemos recalcar que la distancia p-ádica corresponde a los números racionales y no tiene sentido para números irracionales. Por ejemplo, no podemos escribir $|\sqrt{2}|_p$.

Consideramos el número racional $\dfrac{10}{12}$. Calculamos la norma 2-ádica.

La factorización de $10$ es $5 \cdot 2$ y la de $12$ es $3 \cdot 2^2$. Según las notaciones anteriores tenemos que $a=10$ y $b=12$ con $m=5$ y $n=3$ y también $r=1$ y $s=2$. Entonces, tenemos que la norma 2-ádica de $\dfrac{10}{12}$ es

$$\Big| \dfrac{10}{12}\Big|_2=2^{s-r}=2^{2-1}=2$$

Aprovechamos la factorización anterior para calcular las normas 5-ádicas y 7-ádicas.

Para la norma 5-ádica tenemos, según las definiciones presentadas, $m=2$ y $n=12$ y también $r=1$ y $s=0$. Y entonces:

$$\Big| \dfrac{10}{12}\Big|_5=5^{s-r}=2^{0-1}=\dfrac{1}{5}$$

Para la norma 7-ádica tenemos, según las definiciones presentadas, $m=10$ y $n=12$ y también $r=0$ y $s=0$. Y entonces:

$$\Big| \dfrac{10}{12}\Big|_7=7^{s-r}=7^{0-0}=1$$

La norma p-ádica, tiene las mismas propiedades que la norma euclídea y nos permite definir una distancia, la que denominamos como distancia p-ádica. Para definir esta distancia hacemos una analogía con la distancia euclídea definiendo la distancia p-ádica como: $$d_p(a,b)=|b-a|_p$$

Esta distancia tiene las propiedades ya comentadas para la distancia euclídea. Las recordamos:

• $d_p(a,b)>0$; y $d_p(a,b)=0$ si y solo si $a=b$.
• $d_p(a,b)=d_p(b,a)$.
• $d_p(a,b) \leq d_p(a,c) + d_p(c,b)$

No debemos confundir la notación $d(a,b)$ y $d_p(a,b)$, ya que la primera corresponde siempre a la distancia euclídea y la segunda a la distancia p-ádica, donde $p$ es un número primo.

Veamos un ejemplo donde se observa que esta distancia no mantiene el sentido intuitivo de proximidad que tiene la distancia euclídea.

Consideramos la distancia 3-ádica. Elegimos, por ejemplo $b=1$. Vamos a ver que podemos escoger un $a$ racional de manera que $d(a,b)$ sea grande pero que $d_3(a,b)$ sea pequeña.

Si escogemos $a=82$ tenemos que $$d(a,b)=d(82,1)=|82-1|=81$$

Veamos en cambio que la distancia 3-ádica es pequeña. Tenemos que $$d_3(a,b)=d_3(82,1)=|81|_3$$

Factorizando obtenemos que $81=3^4$ y en consecuencia tenemos $$|81|_3=3^{-4}=\dfrac{1}{81}$$

Por tanto, los números $1$ y $82$ están lejos según la distancia euclídea pero cerca según la norma 3-ádica.

Del mismo modo, si elegimos $a=1+3^m$ obtenemos que $$d(a,b)=d(1+3^m,1)=|1+3^m-1|=3^m$$

Y por otro lado tenemos $$d_3(a,b)=d_3(1+3^m,1)=|1+3^m-1|_3=|3^m|_3=3^{-m}$$

Con lo que la distancia euclídea se va haciendo mayor al aumentar $m$ y en cambio la distancia 3-ádica se va haciendo cada vez menor.