Distància p-àdica entre dos nombres reals

La distància euclidiana representa el concepte més intuïtiu de distància sobre la recta real. Tot i així, podem definir altres distàncies, entre nombres racionals, que no corresponen a cap concepte intuïtiu.

Encara que només presentarem les definicions corresponents, aquestes noves distàncies són clau per obtenir resultats aritmètics.

Anem ara a definir la norma p-àdica:

Fixem un nombre primer $p$. Per definir la norma d'un nombre racional $\dfrac{a}{b}\neq 0$ primer hem factoritza tant $a$ com $b$, de fet n'hi ha prou amb veure quantes vegades són divisibles per $p$.

Suposem llavors que $a=m\cdot p^r$ de manera que $p$ no divideix a $m$, i $b=n\cdot p^s$ amb $p$ no dividint a $n$.

Segons aquestes definicions, definim la norma de $\dfrac{a}{b}$ com $$p^{s-r}$$ Escriurem la norma de $\dfrac{a}{b}$ com $\Big| \dfrac{a}{b}\Big|_p$ i l'anomenarem norma p-àdica.

Si $\dfrac{a}{b}=0$ llavors posem $\Big| \dfrac{a}{b}\Big|_p=0$.

No hem de confondre la notació entre $\Big| \dfrac{a}{b}\Big|$ i $\Big| \dfrac{a}{b}\Big|_p$. Quan no posem subíndex sempre ens estarem referint a la norma euclidiana.

També hem de tenir en compte que quan parlem de normes p-àdiques, $p$ ha de ser primer. Per tant, no té sentit parlar, per exemple de la norma 4-àdica ni 6-àdica ja que ni $4$ ni $6$ són primers.

També podem observar que per a calcular $\Big| \dfrac{a}{b}\Big|_p$ no cal que $a$ i $b$ no tinguin factors en comú.

Com a últim comentari hem recalcar que la distància p-àdica correspon als nombres racionals i no té sentit per nombres irracionals. Per exemple, no podem escriure $|\sqrt{2}|_p$.

Considerem el nombre racional $\dfrac{10}{12}$. Calculem la norma 2-àdica.

La factorització de $10$ és $5 \cdot 2$ i la de $12$ és $3 \cdot 2^2$. Segons les notacions anteriors tenim que $a=10$ i $b=12$ amb $m=5$ i $n=3$ i també $r=1$ i $s=2$. Llavors, tenim que la norma 2-àdica de $\dfrac{10}{12}$ és

$$\Big| \dfrac{10}{12}\Big|_2=2^{s-r}=2^{2-1}=2$$

Aprofitem la factorització anterior per calcular les normes 5-àdiques i 7-àdiques.

Per a la norma 5-àdica tenim, segons les definicions presentades, $m=2$ i $n=12$ i també $r=1$ i $s=0$. I llavors

$$\Big| \dfrac{10}{12}\Big|_5=5^{s-r}=2^{0-1}=\dfrac{1}{5}$$

Per a la norma 7-àdica obtenim, segons les definicions presentades, $m=10$ i $n=12$ i també $r=0$ i $s=0$. I llavors

$$\Big| \dfrac{10}{12}\Big|_7=7^{s-r}=7^{0-0}=1$$

La norma p-àdica, té les mateixes propietats que la norma euclidiana i ens permet definir una distància, la que denominem com a distància p-àdica. Per definir aquesta distància fem una analogia amb la distància euclidiana definint la distància p-àdica com: $$d_p(a,b)=|b-a|_p$$

Aquesta distància té les propietats comentades per la distància euclidiana. Les recordem:

• $d_p(a,b)>0$; i $d_p(a,b)=0$ si i només si $a=b$.
• $d_p(a,b)=d_p(b,a)$.
• $d_p(a,b) \leq d_p(a,c) + d_p(c,b)$

No hem de confondre la notació $d(a,b)$ i $d_p(a,b)$, ja que la primera correspon sempre a la distància euclidiana i la segona a la distància p-àdica, on $p$ és un nombre primer.

Vegem un exemple on s'observa que aquesta distància no manté el sentit intuïtiu de proximitat que té la distància euclidiana.

Considerem la distància 3-àdica. Triem, per exemple $b=1$. Anem a veure que podem escollir un $a$ racional de manera que $d(a,b)$ sigui gran però que $d_3(a,b)$ sigui petita.

Si escollim $a=82$ tenim $$d(a,b)=d(82,1)=|82-1|=81$$

Vegem en canvi que la distància 3-àdica és petita: $$d_3(a,b)=d_3(82,1)=|81|_3$$

Factoritzant obtenim que $81=3^4$ i en conseqüència tenim $$|81|_3=3^{-4}=\dfrac{1}{81}$$

Per tant, els números $1$ i $82$ estan lluny segons la distància euclidiana però a prop segons la norma 3-àdica.

De la mateixa manera, si triem $a=1+3^m$ obtenim que $$d(a,b)=d(1+3^m,1)=|1+3^m-1|=3^m$$

I d'altra banda tenim $$d_3(a,b)=d_3(1+3^m,1)=|1+3^m-1|_3=|3^m|_3=3^{-m}$$

Amb el que la distància euclidiana es va fent més gran en augmentar $m$ i en canvi la distància 3-àdica es va fent cada vegada menor.