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Teorema de Fubini
Calcular la integral de la función $f(x,y)=xy+3y$ en la región $R=[1,2] \times [0,4]$: $$\int_0^4\int_ 1^2 xy+3y \ dxdy$$
Seguiremos el siguiente procedimiento:
Calculamos la integral respecto a $x$, suponiendo $y$ constante: $$\int_0^4\Big(\int_ 1^2 (xy+3y) \ dx\Big)dy = \int_0^4\Big[ y \cdot \dfrac{x^2}{2}+3yx\Big]_1^2 \ dy =$$ $$=\int_0^4 y\Big(2-\dfrac{1}{2}\Big) +3y\cdot(2-1) \ dy= \int_0^4 \dfrac{9}{2}y \ dy$$
Calculamos la integral respecto a $y$ $$\int_0^4 \dfrac{9}{2}y \ dy= \dfrac{9}{2}\int_0^4 y \ dy=\dfrac{9}{2} \cdot 8=36$$
Veamos otra manera de resolverlo. Utilizamos el teorema de Fubini para reordenar la integral, y veremos que el resultado será el mismo:
$$\int_0^4\Big(\int_ 1^2 (xy+3y) \ dx\Big)dy = \int_1^2\Big(\int_ 0^4 (xy+3y) \ dy\Big)dx=$$ $$\int_1^2\Big[x\dfrac{y^2}{2}+3\dfrac{y^2}{2}]_0^4 \ dx=\int_1^2 8x+24 \ dx=36$$
$$\displaystyle \int_0^4\int_ 1^2 (xy+3y) \ dxdy = 36$$