Sistemas de inecuaciones de una variable
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones de una variable:
$$\left\{ \begin{array}{l} x(x-2) < 0 \\ x^2+x > -(1+x) \end{array}\right. $$
Resolveremos las dos inecuaciones independientemente y intersecaremos las regiones solución: $$ x(x-2) < 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 0 \\ x-2 > 0 \end{array}\right. \ \text{ o bé } \ \left\{ \begin{array}{l} x > 0 \\ x-2 < 0 \end{array}\right.$$ por lo que debemos tomar la segunda opción ya que la primera no tiene solución, entonces: $0 < x < 2$.
Por otra parte: $$ x^2+x > -(1+x) \Rightarrow x^2+2x+1 > 0$$
Resolvemos la ecuación de segundo grado $$ x^2+ 2x +1=0 \Rightarrow x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4-4}}{2}=-1$$
Por consiguiente tenemos: $$ x^2+ 2x +1=(x+1)^2=(x+1)(x+1) > 0 \Rightarrow x+1 > 0 \ \ \text{ o bé } \ \ x+1 > 0$$
de lo que deducimos que las soluciones serán: $x+1 > 0$ y $x+1 > 0$
Ahora intersecamos la región de las dos soluciones y obtenemos la región: $$ 0 < x < 2$$
$ 0 < x < 2$