Posición relativa de tres planos
Estudia la posición relativa de los planos dados por las ecuaciones siguientes:$$\begin{array}{rrcl} \pi_1:&x+3y-5z-3 &=&0 \\ \pi_2:&2x-y+z&=&0 \\ \pi_3:&2x+6y-10z-7 &=&0\end{array}$$
Empezamos encontrando el rango de la matriz $M$ y de la matriz ampliada $M'$:
$$|M|=\left|\begin{matrix} 1 & 3 & -5 \\ 2 & -1 & 1 \\ 2 & 6 & -10 \end{matrix} \right|=0 \ \ \ \ \ \ \left|\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right|=-7\neq0 \Rightarrow rango(M)=2 $$
$$|M'|=\left|\begin{matrix} 1 & 3 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 6 & 7 \end{matrix} \right|=-7 \Rightarrow rango(M')=3 $$
Por tanto existen planos secantes, determinamos si existen planos paralelos:
$$\dfrac{1}{2}\neq\dfrac{3}{-1} \Rightarrow \pi_1 \mbox{ y } \pi_2 \mbox{ no son paralelos }$$
$$\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{-5}{-10}\neq\dfrac{3}{7} \Rightarrow \pi_1 \mbox{ y } \pi_3 \mbox{ son paralelos }$$
Por tanto los planos $\pi_1$ y $\pi_3$ son paralelos y secantes al plano $\pi_2$
Los planos $\pi_1$ y $\pi_3$ son paralelos y secantes al plano $\pi_2$