Posición relativa de tres planos

Para estudiar la posición relativa de tres planos $\pi_1(A;\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}), \pi_2(A'; \overrightarrow{u'},\overrightarrow{v'})$ y $\pi_3(A''; \overrightarrow{u''}, \overrightarrow{v''})$ expresados por sus ecuaciones generales:

$$\begin{array}{rrcl} \pi_1:&A_1x+B_1y+C_1z+D_1&=&0 \\ \pi_2:& A_2x+B_2y+C_2z+D_2&=&0 \\ \pi_3:&A_3x+B_3y+C_3z+D_3&=&0\end{array}$$

Consideremos el sistema formado por las tres ecuaciones. Las matrices $M$ y $M'$ asociadas al sistema son:

$$M=\begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{pmatrix}$$

$$M'=\begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1&-D_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 &-D_2\\ A_3 & B_3 & C_3&-D_3 \end{pmatrix}$$

Podemos clasificar la posición relativa de los planos según la compatibilidad de los sistemas:

Sistema Compatible

Sistema Compatible Indeterminado:

$$rango (M) = rango (M') = 1$$

Las soluciones dependen de dos parámetros. Los tres planos son coincidentes.

$$rango (M) = rango (M') = 2$$

Las soluciones dependen de un parámetro, por tanto tienen una recta en común.

Ahora debemos determinar la posición de los planos dos a dos. Tenemos 2 opciones:

• Los tres planos son secantes en una recta.
• Dos planos coincidentes y un plano secante.

Sistema compatible determinado:

$$rango (M) = rango (M') = 3$$

Los planos son secantes en un punto.

Sistema incompatible

$rango (M) = 1$; $rango (M') = 2$

Sistema incompatible: Existen planos paralelos.

A continuación debemos determinar si hay planos coincidentes.

$rango (M) = 2$; $rango (M') = 3$

Sistema incompatible: Existen planos secantes.

A continuación se debe determinar si también hay planos paralelos.