Posició relativa de tres plans

Per estudiar la posició relativa de tres plans $\pi_1(A;\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}), \pi_2(A'; \overrightarrow{u'},\overrightarrow{v'})$ i $\pi_3(A''; \overrightarrow{u''}, \overrightarrow{v''})$ expressats per les seves equacions generals:

$$\begin{array}{rrcl} \pi_1:&A_1x+B_1y+C_1z+D_1&=&0 \\ \pi_2:& A_2x+B_2y+C_2z+D_2&=&0 \\ \pi_3:&A_3x+B_3y+C_3z+D_3&=&0\end{array}$$

Considerem el sistema format per les tres equacions. Les matrius $M$ i $M'$ associades al sistema són:

$$M=\begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{pmatrix}$$

$$M'=\begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1&-D_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 &-D_2\\ A_3 & B_3 & C_3&-D_3 \end{pmatrix}$$

Podem classificar la posició relativa dels plans segons la compatibilitat dels sistemes:

Sistema Compatible

Sistema Compatible Indeterminat

$$rang (M) = rang (M') = 1$$

Les solucions depenen de dos paràmetres. Els tres plans són coincidents.

$$rang (M) = rang (M') = 2$$

Les solucions depenen d'un paràmetre, per tant tenen una recta en comú.

Ara hem de determinar la posició dels plans dos a dos. Tenim 2 opcions:

• Els tres plans són secants en una recta.
• Dos plans coincidents i un pla secant.

Sistema compatible determinat

$$rang (M) = rang (M') = 3$$

Els plans són secants en un punt.

Sistema incompatible

$rang (M) = 1$; $rang (M') = 2$

Sistema incompatible: Hi ha plans paral·lels.

A continuació hem de determinar si hi ha plans coincidents.

$rang (M) = 2$; $rang (M') = 3$

Sistema incompatible: Hi ha plans secants.

A continuació s'ha de determinar si també hi ha plans paral·lels.