Ecuaciones implícitas de la recta en el espacio
Dados los puntos $A = (2, 1,-2)$ y $B = (1,-2, 3)$, encontrad las ecuaciones implícitas de la recta que pasa por ellos.
Empezaremos buscando un vector director de la recta: $$\overrightarrow{AB}=B-A=(1,-2,3)-(2,1,-2)=(-1,-3,5)$$
Con el vector director y un punto, por ejemplo $A$, ya tenemos las ecuaciones continuas: $$\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-1}{-3}=\dfrac{z+2}{5}$$
Por último, si separamos las ecuaciones continuas y operamos un poco tenemos: $$\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-1}{-3} \Rightarrow -3x+6=-y+1 \Rightarrow -3x+y+5=0$$ $$\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{z+2}{5} \Rightarrow 5x-10=-z-2 \Rightarrow 5x+z-8=0$$ Por tanto las ecuaciones implícitas son: $$-3x+y+5=0$$ $$5x+z-8=0$$
$-3x+y+5=0$; $5x+z-8=0$