Ecuaciones continuas de la recta en el espacio

Si en las ecuaciones paramétricas $v_1,v_2$ y $v_3$ son distintos de $0$, podemos aislar el parámetro $k$ en todas $3$: $$\displaystyle k=\frac{x-a_1}{v_1} \qquad k=\frac{y-a_2}{v_2} \qquad k=\frac{z-a_3}{v_3}$$ En igualar las expresiones obtenidas, tenemos: $$\displaystyle \frac{x-a_1}{v_1} =\frac{y-a_2}{v_2} =\frac{z-a_3}{v_3}$$ que son las ecuaciones continuas de la recta.

Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $A = (-1, 1, 3)$ con $\overrightarrow{v}=(3,-2,1)$ por vector director son: $$\left.\begin{array}{rcl} x &=& -1+3k \\ y&=& 1-2k \\ z&=&3+k\end{array}\right\}$$

Aislando $k$ e igualando tenemos: $$\displaystyle \frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{-2}=z-3$$ que son las ecuaciones continuas de la recta.