Equacions contínues de la recta a l'espai

Si a les equacions paramètriques $v_1,v_2$ i $v_3$ són diferents de $0$, podem aïllar el paràmetre $k$ en totes $3$: $$\displaystyle k=\frac{x-a_1}{v_1} \qquad k=\frac{y-a_2}{v_2} \qquad k=\frac{z-a_3}{v_3}$$ En igualar les expressions obtingudes, tenim: $$\displaystyle \frac{x-a_1}{v_1} =\frac{y-a_2}{v_2} =\frac{z-a_3}{v_3}$$ que són les equacions contínues de la recta.

Les equacions paramètriques de la recta que passa pel punt $A = (-1, 1, 3)$ i que té $\overrightarrow{v}=(3,-2,1)$ per vector director són: $$\left.\begin{array}{rcl} x &=& -1+3k \\ y&=& 1-2k \\ z&=&3+k\end{array}\right\}$$

Aïllant $k$ i igualando tenim: $$\displaystyle \frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{-2}=z-3$$ que són les equacions contínues de la recta.