Distancia entre dos rectas en el espacio
Calcula la distancia entre las dos rectas:
$$r:(x,y,z)=(2,1,3)+k\cdot(2,1,-1)$$
$$r':(x,y,z)=(-1,-1,4)+k\cdot(1,3,-2)$$
Empezamos determinando la posición relativa de las rectas.
Primero comprobamos que los vectores directores no sean linealmente dependientes: $$\left. \begin{array}{l} \vec{v}=(2,-1,1) \\ \vec{v}'=(1,3,-2) \end{array} \right\} \Rightarrow \dfrac{2}{1}\neq\dfrac{-1}{3}\neq\dfrac{1}{-2}$$
Las rectas $r$ y $r'$ se cortan o se cruzan.
Cogemos un punto $A$ de $r$ y un punto $A'$ de $r'$, y vemos si $\{\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}'\}$ son linealmente dependientes o independientes: $$\left. \begin{array}{l} A = (2, 1, 3)\\ A' = (-1, -1, 4) \end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow{AA'}=(-3,-2,1)$$
$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} =0 \Rightarrow \text{rango}\big(\{\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}'\}\big)=0$$
Por tanto las rectas $r$ y $r'$ se cortan y $\text{d}(r,r') = 0$.
$\text{d}(r,r') = 0$