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Distancia entre dos rectas en el espacio
La distancia entre dos rectas $r$ y $r'$, $\text{d}(r,r')$, es la mínima distancia entre un punto cualquiera de $r$ y un punto cualquiera de $r'$.
- Si las rectas son coincidentes o secantes, la distancia entre ellas es cero, $\text{d}(r,r')=0$.
- Si las rectas son paralelas, se calcula la distancia entre ellas tomando un punto cualquiera de una de las dos rectas, $P\in r$ o $P'\in r'$, y encontrando la distancia a la otra recta: $$\text{d}(r,r')=\text{d}(P,r')=\text{d}(r,P')$$
- Si las rectas se cruzan, se deduce la siguiente fórmula general para calcular la distancia entre ellas:
Tomamos un punto $A$ perteneciente a $r$ y otro punto $A'$ perteneciente a $r'$. Sean $\vec{v}$ y $\vec{v}'$ vectores directores de $r$ y $r'$. Unimos los puntos $A$ y $A'$. El volumen del paralelepípedo determinado por $\overrightarrow{AA'}$, $\vec{v}$ y $\vec{v}'$, es el valor absoluto del producto mixto de estos vectores: $$v_p=|[\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}']|$$
Por otro lado también podemos calcular este volumen mediante el producto del área de la base por la altura: $$v_p=|\vec{v}\times\vec{v}'|\text{d}(r,r')|$$
Por tanto: $$\text{d}(r,r')=\dfrac{|[\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}']|} {|\vec{v}\times\vec{v}'|}$$
Vamos a calcular la distancia entre las rectas: $$ r:x-2=\dfrac{y+3}{2}=z \qquad r':x=y=z$$
Primero se determina su posición relativa. Para ello se deben escribir las ecuaciones implícitas de la recta: $$ r:\left\{ \begin{array}{l} 2x-y-7=0 \\ x-z-2=0 \end{array} \right. \qquad r':\left\{ \begin{array}{l} x-y=0 \\ x-z=0 \end{array} \right.$$
Y calculamos el rango de las matrices del sistema de ecuaciones resultante: $$|M'|=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{vmatrix} =2 \neq 0 $$
Por tanto $\text{rango}(M')=4$ y las dos rectas se cruzan. Así, debemos encontrar un punto y el vector director de cada recta.
Para la recta $r$: $A=(2,-3,0)$ y $\vec{v}=(1,2,1)$.
Para la recta $r'$: $A'=(0,0,0)$ y $\vec{v}=(1,1,1)$.
Así tenemos: $\overrightarrow{AA'}=(-2,3,0)$
$$\begin{array}{rl} |\vec{v}\times\vec{v}'|=&\left| \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \right|= |2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}-2\vec{k}-\vec{j}-\vec{i}|= |\vec{i}-\vec{k}| \\ =& |(1,0,-1)| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2} \end{array}$$
$$[\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}']= \begin{vmatrix} -2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -4+3+2-3=-2 $$
Finalmente: $$\text{d}(r,r')=\dfrac{|[\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}']|} {|\vec{v}\times\vec{v}'|}= \dfrac{|-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$