Distància entre dues rectes a l'espai

La distància entre dues rectes $r$ i $r'$, $\text{d}(r,r')$, és la mínima distància entre un punt qualsevol de $r$ i un punt qualsevol de $r'$.

• Si les rectes són coincidents o secants, la distància entre elles és zero, $\text{d}(r,r')=0$.
• Si les rectes són paral·leles, es calcula la distància entre elles prenent un punt qualsevol d'una de les dues rectes, $P\in r$ o $P'\in r'$, i trobant la distància a l'altra recta: $$\text{d}(r,r')=\text{d}(P,r')=\text{d}(r,P')$$
• Si les rectes es creuen, es dedueix la fórmula general per calcular la distància entre elles:

Prenem un punt $A$ pertanyent a $r$ i un altre punt $A'$ pertanyent a $r'$. Siguin $\vec{v}$ i $\vec{v}'$ vectors directors de $r$ i $r'$. Unim els punts $A$ i $A'$. El volum del paral·lelogram determinat per $\overrightarrow{AA'}$, $\vec{v}$ i $\vec{v}'$, és el valor absolut del producte mixt d'aquests vectors: $$v_p=|[\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}']|$$

D'altra banda també podem calcular aquest volum mitjançant el producte de l'àrea de la base per l'altura: $$v_p=|\vec{v}\times\vec{v}'|\text{d}(r,r')|$$

Per tant: $$\text{d}(r,r')=\dfrac{|[\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}']|} {|\vec{v}\times\vec{v}'|}$$

Anem a calcular la distància entre les rectes: $$ r:x-2=\dfrac{y+3}{2}=z \qquad r':x=y=z$$

Primer es determina la seva posició relativa. Per a això s'han d'escriure les equacions implícites de la recta: $$ r:\left\{ \begin{array}{l} 2x-y-7=0 \\ x-z-2=0 \end{array} \right. \qquad r':\left\{ \begin{array}{l} x-y=0 \\ x-z=0 \end{array} \right.$$

I calculem el rang de les matrius del sistema d'equacions resultant: $$|M'|=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{vmatrix} =2 \neq 0 $$

Per tant $\text{rang}(M')=4$ i les dues rectes es creuen. Així, hem de trobar un punt i el vector director de cada recta.

Per a la recta $r$: $A=(2,-3,0)$ i $\vec{v}=(1,2,1)$.

Per a la recta $r'$: $A'=(0,0,0)$ i $\vec{v}=(1,1,1)$.

Així tenim: $\overrightarrow{AA'}=(-2,3,0)$

$$\begin{array}{rl} |\vec{v}\times\vec{v}'|=&\left| \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \right|= |2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}-2\vec{k}-\vec{j}-\vec{i}|= |\vec{i}-\vec{k}| \\ =& |(1,0,-1)| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2} \end{array}$$

$$[\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}']= \begin{vmatrix} -2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -4+3+2-3=-2 $$

Finalment: $$\text{d}(r,r')=\dfrac{|[\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}']|} {|\vec{v}\times\vec{v}'|}= \dfrac{|-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$