Imagen de una función

No todos los elementos del conjunto de llegada son imagen de algún elemento del dominio.

Dada la función $f(x)=\displaystyle \sqrt{x-3}$ considerando la solución positiva de la raíz, únicamente tiene imágenes positivas o iguales a cero.

Por tanto solo son imagen por $f$ los números reales y que sean mayores a iguales que cero.

Se llama imagen de una función $f$ al conjunto de números reales que son imagen por $f$ de los elementos de su dominio. Se denota por $Im (f)$.

El recorrido de la función $f(x)=\sqrt{x-3}$ es $Im (f) = [0, +\infty)$

Calcular la imagen de las siguientes funciones:

• $f (x) = 2x - 1$

• $f(x)=3x^2$

• $f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}$

• La función puede tener por imagen cualquier número real. Por tanto, $Im (f) =\displaystyle \mathbb{R}$.

• En este caso la función únicamente tiene imágenes positivas o $0$, ya que el cuadrado de un número no puede ser negativo. Por tanto $Im (f) = [0, +\infty)$

• Por último, la función puede tomar cualquier valor real excepto el $0$, ya que $f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}$ no se anula en ningún $x$ perteneciente a $\mathbb{R}$.

Por tanto, $Im (f) =\mathbb{R}-{0}$.