Ejes cartesianos y representación de puntos en el plano
Unos ejes cartesianos son un par de rectas reales perpendiculares que nos permiten identificar los distintos puntos del plano.
Identificaremos un punto $P$ cualquiera mediante un par de números $a$ y $b$, y escribiremos $P = (a, b)$. Antes de ver cómo encontrar dichos $a$ y $b$, analicemos un poco más a fondo los ejes cartesianos.
Esta es una representación gráfica de unos ejes cartesianos:
Observamos que tenemos dos rectas reales que se cruzan en el punto $0$ de ambas.
Es destacable que dichas rectas dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes, y distinguidas según muestra la figura:
Los distintos ejes tienen nombres propios:
- El eje horizontal es el eje de abscisas.
- El eje vertical es el eje de ordenadas.
El punto donde se cortan los dos ejes se llama origen (a veces sencillamente $O$), y tiene por coordenadas $O = (0, 0)$.
Una vez vista la notación habitual, ya estamos en condiciones de localizar puntos.
Una definición rigurosa de qué se considera coordenadas de un punto podría ser:
Dados uno ejes cartesianos y un punto $P$ del plano, si $a$ y $b$ son el valor de la proyección del punto $P$ sobre los ejes de abscisas y ordenadas respectivamente, entonces se tiene $P = (a, b)$.
Una definición más constructiva podría ser la siguiente:
Las coordenadas $a$ y $b$ de un punto $P$ del plano, $P = (a, b)$, son los puntos de intersección de las paralelas a los ejes de coordenadas trazadas desde el punto $P$ con los ejes de coordenadas. La primera coordenada $a$ es la intersección con el eje horizontal o de abscisas, y la segunda coordenada $b$ es la intersección con el eje vertical o de ordenadas.
Un ejemplo visual resultará mucho más clarificador.
De entrada, por situación inicial tenemos el punto y los ejes de coordenadas:
Si trazamos paralelas des del punto $P$, tenemos:
Y por tanto ya podemos decir que $P = (2,-3)$.
El proceso de representar puntos es exactamente el mismo pero a la inversa.
Supongamos que queremos representar el punto $P = (-1, 2)$ en unos ejes cartesianos, el procedimiento a seguir es el siguiente:
Marcamos en el eje de abscisas el punto $-1$ y en el eje de ordenadas el punto $2$:
Trazamos paralelas a los ejes de ordenadas y abscisas por los puntos $a$ y $b$ respectivamente:
La intersección de dichas paralelas es el punto $P = (-1, 2)$