Eixos cartesians i representació de punts al pla
Uns eixos cartesians són un parell de rectes reals perpendiculars que ens permeten identificar els diferents punts del pla.
Identificarem un punt $P$ qualsevol mitjançant un parell de nombres $a$ i $b$, i escriurem $P = (a, b)$. Abans de veure com trobar aquests $a$ i $b$, analitzem una mica més a fons els eixos cartesians.
Aquesta és una representació gràfica d'uns eixos cartesians:
Observem que tenim dues rectes reals que es creuen en el punt $0$ de totes dues.
És destacable que aquestes rectes divideixen el pla en quatre parts anomenades quadrants, i distingides segons mostra la figura:
Els diferents eixos tenen noms propis:
- L'eix horitzontal és l'eix de abscisses.
- L'eix vertical és l'eix d'ordenades.
El punt on es tallen els dos eixos s'anomena origen (de vegades senzillament $O$), i té per coordenades $O = (0, 0)$.
Un cop vista la notació habitual, ja estem en condicions de localitzar punts.
Una definició rigorosa de què es considera coordenades d'un punt podria ser:
Donats uns eixos cartesians i un punt $P$ del pla, si $a$ i $b$ són el valor de la projecció del punt $P$ sobre els eixos d'abscisses i ordenades respectivament, llavors es té $P = (a, b)$.
Una definició més constructiva podria ser la següent:
Les coordenades $a$ i $b$ d'un punt $P$ del pla, $P = (a, b)$, són els punts d'intersecció de les paral·leles als eixos de coordenades traçades des del punt $P$ amb els eixos de coordenades. La primera coordenada $a$ és la intersecció amb l'eix horitzontal o d'abscisses, i la segona coordenada $b$ és la intersecció amb l'eix vertical o d'ordenades.
Un exemple visual resultarà molt més clarificador.
D'entrada, per situació inicial tenim el punt i els eixos de coordenades:
Si tracem paral·leles des del punt $P$, tenim:
I per tant ja podem dir que $P = (2,-3)$.
El procés de representar punts és exactament el mateix però al revés.
Suposem que volem representar el punt $P = (-1, 2)$ en uns eixos cartesians, el procediment a seguir és el següent:
Marquem en l'eix d'abscisses el punt $-1$ i en l'eix d'ordenades el punt $2$:
Tracem paral·leles als eixos d'ordenades i abscisses pels punts $a$ i $b$ respectivament:
La intersecció d'aquestes paral·leles és el punt $P = (-1, 2)$