Determinación gráfica del dominio y de la imagen
Dada la siguiente función definida a trozos:
$$ f(x)=\Bigg\lbrace \begin{eqnarray} x+2 & \mbox{si} & x\leq 0 \\\\ 2 & \mbox{si} & 0 < x \leq 2 \\\\ -x+4 & \mbox{si} & x>2 \end{eqnarray}$$
Haz la representación gráfica y encuentra el dominio y el recorrido de la función.
Una forma de proceder es dibujar la gráfica de la función y a partir de ella encontrar el dominio y la imagen.
Para ello observamos que:
En el intervalo $(-\infty, 0]$ tenemos una recta de pendiente $m = 1$ y que corta el eje $x$ en $x = -2$.
En el intervalo $(0, 2]$, tenemos una función constante $y = 2$.
En el intervalo $(2, +\infty)$ tenemos una recta de pendiente $m = -1$ y que corta el eje $x$ en $x = 4$.
Por tanto la gráfica de la función queda:
De esta forma está claro que el dominio de la función es:
$$Dom (f) = (-\infty, +\infty)$$
y que su imagen es:
$$Im (f) = (-\infty, 2]$$
$$Dom (f) = (-\infty, +\infty)$$
$$Im (f) = (-\infty, 2]$$