Sistemas de EDO homogéneos a coeficientes constantes
Resolver el siguiente sistema: $$\left . \begin{array} {rcl} x' & = & -x-y+z \\ y' & = & -y -z \\ z' & = & y-3z \end{array}\right\}$$
Observamos que se trata de un sistema lineal a coeficiente constantes, donde $$A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}$$ Los valores propios de esta matriz son:
$$\lambda_1=-1 \\ \lambda_2=\lambda_3=-2$$
y una base de vectores propios es: $$v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \ v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ v_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Notemos que esta matriz no diagonaliza. Por lo tanto ya tenemos calculados: $$J=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}; \ \ S=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Sabemos que una matriz fundamental del sistema es: $$\phi(t)=S\cdot e^{tJ}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}e^{-t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-2t} & 0 \\ 0 & t\cdot e^{-2t} & e^{-2t} \end{pmatrix} =$$ $$= \begin{pmatrix} e^{-t} & e^{-2t} & 0 \\ 0 & e^{-2t}+t\cdot e^{-2t} & e^{-2t} \\ 0 & t\cdot e^{-2t} & e^{-2t} \end{pmatrix}=$$ $$= \begin{pmatrix} e^{-t} & e^{-2t} & 0 \\ 0 & (t+1)e^{-2t} & e^{-2t} \\ 0 & t\cdot e^{-2t} & e^{-2t} \end{pmatrix}$$
Multiplicando por un vector de constantes, obtenemos nuestra solución.
$$\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} e^{-t} & e^{-2t} & 0 \\ 0 & (t+1)e^{-2t} & e^{-2t} \\ 0 & t\cdot e^{-2t} & e^{-2t} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} $$