La distribución binomial o de Bernoulli

Un experimento se puede modelar con una distribución binomial si cumple que:

• Sólo hay dos posibles sucesos resultantes del experimento: $A, \overline{A}$ (éxito y fracaso).
• Las probabilidades de cada suceso $A, \overline{A}$ son las mismas en cualquier realización del experimento ($p$ y $q = 1-p$, respectivamente). Es decir, si se tira una moneda varias veces, no cambia la probabilidad de obtener cara.
• Toda realización del experimento es independiente del resto.

Una variable aleatoria binomial devolverá el número de éxitos al realizar un número determinado de experimentos.

Resulta útil para analizar el número de veces que se obtiene cara al lanzar una moneda $n$ veces.

La distribución binomial se suele representa por $B(n,p)$, con:

• $n$: número de realizaciones del experimento aleatorio
• $p$: probabilidad de éxito al realizar un experimento

Es decir, si se quiere estudiar la distribución binomial que modela $10$ lanzamientos de una moneda (en la que la cara es igual de probable que la cruz) se tiene:

$$\displaystyle B\Big(10, \frac{1}{2}\Big)$$

La función de probabilidad de la distribución binomial es:

$$p(X=k)=\binom{n}{k}p^k\cdot q^{n-k}$$

• $n$: número de experimentos
• $k$: número de éxitos
• $p$: probabilidad de éxito
• $q$: probabilidad de fracaso

El número combinatorio se define:

$$\displaystyle \binom{n}{k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Calcule la probabilidad de obtener $8$ caras tirando una moneda perfecta diez veces.

Distribución $\displaystyle B\Big(10, \frac{1}{2}\Big)$

número de experimentos: $n=10$

número de resultados con éxito: $k=8$

probabilidad de cada éxito y de cada fracaso: $\displaystyle p=q=1/2$

$$p(X=8)=\binom{10}{8} \Big(\frac{1}{2}\Big)^8 \Big(\frac{1}{2}\Big)^2 = 0.044$$

lo que se puede interpretar como el producto de las combinaciones posibles de $8$ caras y $2$ cruces por la probabilidad de sacar $8$ caras por la probabilidad de sacar $2$ cruces.

La media de una distribución binomial es:

$$\mu= n \cdot p$$

La varianza es:

$$\sigma^2= n \cdot p \cdot q= n \cdot p \cdot (1-p)$$

La desviación típica es:

$$\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot q}$$