La distribució binomial o de Bernoulli

Un experiment es pot modelar amb una distribució binomial si compleix que:

• Només hi ha dos possibles successos resultants de l'experiment: $A, \overline{A}$ (èxit i fracàs).
• Les probabilitats de cada succés $A, \overline{A}$ són les mateixes en qualsevol realització de l'experiment ($p$ i $q = 1-p$, respectivament). És a dir, si es tira una moneda diverses vegades, no canvia la probabilitat d'obtenir cara.
• Tota realització de l'experiment és independent de la resta.

Una variable aleatòria binomial ens donarà el nombre d'èxits en realitzar un nombre determinat d'experiments.

Per exemple, és útil per analitzar el nombre de vegades que s'obté cara al llançar una moneda $n$ vegades.

La distribució binomial se sol representa per $B(n,p)$, amb:

• $n$: nombre de realitzacions de l'experiment aleatori.
• $p$: probabilitat d'èxit en realitzar un experiment.

És a dir, si es vol estudiar la distribució binomial que modela $10$ llançaments d'una moneda (en la qual la cara és igual de probable que la creu) es té:

$$\displaystyle B\Big(10, \frac{1}{2}\Big)$$

La funció de probabilitat de la distribució binomial és:

$$p(X=k)=\binom{n}{k}p^k\cdot q^{n-k}$$

• $n$: nombre d'experiments.
• $k$: nombre d'èxits.
• $p$: probabilitat d'èxit.
• $q$: probabilitat de fracàs.

El nombre combinatori es defineix:

$$\displaystyle \binom{n}{k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Calculeu la probabilitat d'obtenir $8$ cares tirant una moneda perfecta deu vegades.

Distribució $\displaystyle B\Big(10, \frac{1}{2}\Big)$

nombre d'experiments: $n=10$

nombre de resultats amb èxit: $k=8$

probabilitat de cada èxit i de cada fracàs: $\displaystyle p=q=1/2$

$$p(X=8)=\binom{10}{8} \Big(\frac{1}{2}\Big)^8 \Big(\frac{1}{2}\Big)^2 = 0.044$$

el que es pot interpretar com el producte de les combinacions possibles de $8$ cares i $2$ creus, per la probabilitat de treure $8$ cares, per la probabilitat de treure $2$ creus.

La mitjana d'una distribució binomial és:

$$\mu= n \cdot p$$

La variància és:

$$\sigma^2= n \cdot p \cdot q= n \cdot p \cdot (1-p)$$

La desviació típica és:

$$\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot q}$$