Notación, menores complementarios y matriz adjunta
Escribir una matriz $2\times2$ y escribir su determinante (solamente escribirlo, no hace falta calcularlo). Luego hacer lo mismo para un matriz $3\times3$.
Si escribo la matriz $2\times2$ que sigue, $\left(\begin{matrix} 1 & -1\\ 2 & 1 \end{matrix}\right)$ el determinante se escribe $\left|\begin{matrix} 1 & -1\\ 2 & 1 \end{matrix}\right|$
Lo mismo para el caso $3\times3$ $$\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right) \rightarrow \left|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right|$$
El determinante se escribe $\left|\begin{matrix} 1 & -1\\ 2 & 1 \end{matrix}\right|$ i $\left|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right|$
Encontrar el menor complementario de cada elemento de la diagonal principal de la siguiente matriz $4\times4$ $$\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{matrix}\right)$$
Se buscan los menores complementarios de los elementos de la diagonal principal, es decir, de lo elementos $a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{44}$.
$$a_{11}=\left(\begin{matrix} \xcancel{1} & \cancel{0} & \cancel{1} & \cancel{0} \\ \bcancel{1} & 1 & 0 & 2\\ \bcancel{1} & 1 & 1 & 0 \\ \bcancel{1} & 2 & 3 & 1 \end{matrix}\right)=\begin{matrix} \left|\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0\\ 2 & 3 & 1 \end{matrix}\right| \\ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}\end{matrix}=$$ $$=1\cdot1\cdot1+1\cdot3\cdot2+\cancel{2\cdot0\cdot0}-2\cdot1\cdot2-\cancel{0\cdot3\cdot1}-\cancel{1\cdot0\cdot1}=1+6-4=3$$
Donde se usa la fórmula de Sarrus para calcular el determinante $3\times3$.
De la misma forma deben calcularse los demás menores
$$a_{22}=\left(\begin{matrix} 1 & \cancel{0} & 1 & 0 \\ \bcancel{1} & \xcancel{1} & \bcancel{0} & \bcancel{2}\\ 1 & \cancel{1} & 1 & 0 \\ 1 & \cancel{2} & 3 & 1 \end{matrix}\right)=\left|\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 3 & 1 \end{matrix}\right| = 0 $$ (pues existen filas repetidas)
$$a_{33}=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & \cancel{1} & 0 \\ 1 & 1 & \cancel{0} & 2\\ \bcancel{1} & \bcancel{1} & \xcancel{1} & \bcancel{0} \\ 1 & 2 & \cancel{3} & 1 \end{matrix}\right)=\left|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}\right| =$$ $$=1\cdot1\cdot1+1\cdot2\cdot0+1\cdot0\cdot2-0\cdot1\cdot1-2\cdot2\cdot1-1\cdot0\cdot1=-3$$
$$a_{44}=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & \cancel{0} \\ 1 & 1 & 0 & \cancel{2}\\ 1 & 1 & 1 & \cancel{0} \\ \bcancel{1} & \bcancel{2} & \bcancel{3} & \xcancel{1} \end{matrix}\right)=\left|\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right| =$$ $$=1\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot1+1\cdot0\cdot0-1\cdot1\cdot1-0\cdot1\cdot1-1\cdot0\cdot1=1$$
$$a_{11}=3, a_{22}=0, a_{33}=-3, a_{44}=1$$
Encontrar la matriz adjunta $$A=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{matrix}\right)$$
Se pide encontrar $adj(A)$. El primer paso es calcular todos los menores complementarios
$$a_{11}=\left|\begin{matrix} \xcancel{1} & \cancel{0} & \cancel{2} \\ \bcancel{0} & 3 & 1\\ \bcancel{3} & 1 & 0 \end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right| = -1$$
$$a_{12}=\left|\begin{matrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{matrix}\right| = -3$$
$$a_{13}=\left|\begin{matrix} 0 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix}\right| = -9$$
$$a_{21}=\left|\begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right| = -2$$
$$a_{22}=\left|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{matrix}\right| = -6$$
$$a_{23}=\left|\begin{matrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{matrix}\right| = 1$$
$$a_{31}=\left|\begin{matrix} 0 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix}\right| = -6$$
$$a_{32}=\left|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right| = 1$$
$$a_{33}=\left|\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}\right| = 3$$
Para calcular la matriz adjunta debemos tener en cuenta los signos!
$$\left(\begin{matrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{matrix}\right)$$ Y finalmente, pues, $$adj(A)=\left(\begin{matrix} -1 & 3 & -9 \\ 2 & -6 & -1 \\ -6 & -1 & 3 \end{matrix}\right)$$
$$adj(A)=\left(\begin{matrix} -1 & 3 & -9 \\ 2 & -6 & -1 \\ -6 & -1 & 3 \end{matrix}\right)$$