Notación, menores complementarios y matriz adjunta

Notación

Es sabido que una matriz $3 \times 3$ se escribe como sigue:

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$

donde los subíndices indican la fila y la columna respectivamente.

Si se escribe

$$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|$$

significa que quiere calcularse el determinante de esta matriz.

Evidentemente se ha escrito el caso de una matriz $3 \times 3$ -por ser el más común-, aunque también pueden calcularse los determinantes de matrices $2 \times 2$, $4 \times 4$ o $N \times N$. Solamente tiene sentido hablar de determinantes de matrices cuadradas.

Menores complementarios

Sea la matriz $3 \times 3$:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

El menor complementario del elemento $a_{11}$ es el determinante de orden 2 que sobrevive cuando se eliminan la fila 1 y la columna 1.

Es decir, el menor complementario buscado será:

$$M_{11}=\left|\begin{matrix} \rlap{/}{ 1}&\rlap{/}2&\rlap{/}3\\ \rlap{/}4&5&6\\ \rlap{/}7 &8&9 \end{matrix}\right|=5 \cdot 9-8\cdot 6=-3$$

Calcúlese ahora el menor complementario del elemento $a_{23}$, repitiendo que se trata del determinante de orden 2 que sobrevive cuando se eliminan la fila 2 y la columna 3.

$$M_{23}\left|\begin{matrix} 1&2&\rlap{/}3\\ \rlap{/}4&\rlap{/}5&\rlap{/}6\\ 7 &8&\rlap{/}9 \end{matrix}\right|=1 \cdot 8-7\cdot 2=-6$$

De forma general, pues, el menor complementario del elemento $a_{ij}$ se escribe como $M_{ij}$ y es el determinante de orden inferior que sobrevive cuando se eliminan la fila $i$ y la columna $j$ respectivamente.

Adjuntos

Se llama adjunto de un elemento de matriz a su menor complementario anteponiendo:

• El signo $+$ cuando $i+j$ sea par
• El signo $-$ cuando $i+j$ sea impar

Por seguir los ejemplos anteriores el adjunto del elemento $a_{11}$ se escribirá $A_{11}$ y deberá llevar el signo $+$ ($1+1=2$, que es par), mientras que el adjunto del elemento $a_{23}$ se escribirá $A_{23}$ y deberá llevar el signo $-$ ($2+3=5$, que es impar).

Utilizando la notación precisa, concluimos que $A_{11} = +M_{11}= -3$ i $A_{23} =-M_{23}= 6$.

Véase otro ejemplo:

Sea la matriz:

$$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & 4\end{pmatrix}$$

Se quiere encontrar el adjunto del elemento $a_{11}$.

Se calcula el menor complementario:

$$M_{11}=\left| \begin{matrix} -\rlap{/}1 & \rlap{/}0 & \rlap{/}2 \\ \rlap{/} 1 & 1 & -3 \\ \rlap{/}0 & 2 & 4\end{matrix}\right|= 1 \cdot 4 - 2 \cdot (-3)=10$$

Se comprueba el signo que corresponde: $1+1=2$, o sea par, y por lo tanto el signo es positivo. El adjunto de $a_{11}$ es $A_{11}=10$.

Encontremos ahora el adjunto del elemento $a_{22}$:

$$M_{22}=\left|\begin{matrix} -1 & \rlap{/}0 & 2 \\ -\rlap{/}1 & \rlap{/}1 &-\rlap{/}3 \\ 0 & \rlap{/}2 & 4 \end{matrix}\right| \rightarrow \left|\begin{matrix} -1 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix}\right|=(-1) \cdot 4 -2 \cdot 0 = -4$$

Se comprueba el signo: $2+2=4$, que es par, y por lo tanto el signo no cambia, es decir, $A_{22}=M_{22}$.

Y así se podría encontrar sucesivamente el adjunto de todos los elementos $a_{ij}$ de la matriz.

Matriz adjunta

Si sustituyo cada elemento de la matriz $A$ por su adjunto obtengo la llamada matriz adjunta, que se escribe $Adj(A)$.

Calcúlese para el ejemplo anterior, empezando por los menores complementarios:

$$\begin{matrix} M_{11}=\left|\begin{matrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{matrix}\right|=10 & M_{12}=\left|\begin{matrix} 1 &-3 \\ 0 & 4 \end{matrix}\right|=4 & M_{13}=\left|\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}\right|=3\\\\ M_{21}=\left|\begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}\right|=-4 & M_{22}=\left|\begin{matrix} -1 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix}\right|=-4 & M_{23}=\left|\begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}\right|=-2\\ \\ M_{31}=\left|\begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & -3 \end{matrix}\right|=-2 & M_{32}=\left|\begin{matrix} -1 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix}\right|=-4 & M_{33}=\left|\begin{matrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}\right|=-1 \end{matrix}$$

Se han encontrado los nueve menores complementarios, pero deben añadirse lo signos de cada uno de ellos según si la suma $i+j$ sea par o impar. Resumiendo, lo signos quedarán como sigue:

$$\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & +\end{pmatrix}$$

y por lo tanto la matriz adjunta será:

$$Adj\begin{pmatrix}-1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 10 & -4 & 3 \\ 4 & -4 & 2 \\ -2 & 4 & -1\end{pmatrix}$$