Notació, menors complementaris i matriu adjunta

Notació

És sabut que una matriu $3 \times 3$ s'escriu així:

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$

on els subíndexs indiquen la fila i la columna respectivament.

Si s'escriu:

$$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|$$

vol dir que volem calcular el determinant d'aquesta matriu.

Evidentment s'ha escrit el cas d'una matriu $3 \times 3$ -és el cas més comú-, encara que també poden calcular els determinants de matrius $2 \times 2$, $4 \times 4$ o $N \times N$. Només té sentit parlar de determinants de matrius quadrades.

Menors complementaris

Sigui la matriu $3 \times 3$:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

El menor complementari de l'element $a_{11}$ és el determinant d'ordre 2 que sobreviu quan s'eliminen la fila 1 i la columna 1.

És a dir, el menor complementari buscat serà:

$$M_{11}=\left|\begin{matrix} \rlap{/}{ 1}&\rlap{/}2&\rlap{/}3\\ \rlap{/}4&5&6\\ \rlap{/}7 &8&9 \end{matrix}\right|=5 \cdot 9-8\cdot 6=-3$$

Calculeu ara el menor complementari de l'element $a_{23}$, repetint que es tracta del determinant d'ordre 2 que sobreviu quan s'eliminen la fila 2 i la columna 3.

$$M_{23}=\left|\begin{matrix} 1&2&\rlap{/}3\\ \rlap{/}4&\rlap{/}5&\rlap{/}6\\ 7 &8&\rlap{/}9 \end{matrix}\right|=1 \cdot 8-7\cdot 2=-6$$

De forma general, doncs, el menor complementari de l'element $a_{ij}$ s'escriu com $M_{ij}$ i és el determinant d'ordre inferior que sobreviu quan s'eliminen la fila $i$ i la columna $j$ respectivament.

Adjunts

Es diu adjunt d'un element de la matriu al seu menor complementari anteposant:

• El signe $+$ quan $i+j$ sigui parell
• El signe $-$ quan $i+j$ sigui senar

Per seguir els exemples anteriors l'adjunt de l'element $a_{11}$ s'escriurà $A_{11}$ i haurà de portar el signe $+$ ($1+1=2$, que és parell), mentre que l'adjunt de l'element $a_{23}$ s'escriurà $A_{23}$ i haurà de portar el signe $-$ ($2+3=5$, que és senar).

Utilitzant la notació precisa, arribem a la conclusió que $A_{11} = +M_{11}= -3$ i $A_{23} =-M_{23}= 6$.

Vegeu un altre exemple:

Sigui la matriu:

$$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & 4\end{pmatrix}$$

Es vol trobar l'adjunt de l'element $a_{11}$.

Es calcula el menor complementari:

$$M_{11}=\left| \begin{matrix} -\rlap{/}1 & \rlap{/}0 & \rlap{/}2 \\ \rlap{/} 1 & 1 & -3 \\ \rlap{/}0 & 2 & 4\end{matrix}\right|= 1 \cdot 4 - 2 \cdot (-3)=10$$

Es comprova el signe que correspon: $1+1=2$, és a dir parell, i per tant el signe és positiu. L'adjunt de $a_{11}$ és $A_{11}=10$.

Trobem ara l'adjunt de l'element $a_{22}$:

$$M_{22}=\left|\begin{matrix} -1 & \rlap{/}0 & 2 \\ -\rlap{/}1 & \rlap{/}1 &-\rlap{/}3 \\ 0 & \rlap{/}2 & 4 \end{matrix}\right| \rightarrow \left|\begin{matrix} -1 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix}\right|=(-1) \cdot 4 -2 \cdot 0 = -4$$

Es comprova el signe: $2+2=4$, que és parell, i per tant el signe no canvia, és a dir, $A_{22}=M_{22}$.

I així es podria trobar successivament l'adjunt de tots els elements $a_{ij}$ de la matriu.

Matriu adjunta

En substituir cada element de la matriu $A$ pel seu adjunt obtenim l'anomenada matriu adjunta, que s'escriu $Adj(A)$.

Calculem, per l'exemple anterior, començant pels menors complementaris:

$$\begin{matrix} M_{11}=\left|\begin{matrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{matrix}\right|=10 & M_{12}=\left|\begin{matrix} 1 &-3 \\ 0 & 4 \end{matrix}\right|=4 & M_{13}=\left|\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}\right|=3\\\\ M_{21}=\left|\begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}\right|=-4 & M_{22}=\left|\begin{matrix} -1 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix}\right|=-4 & M_{23}=\left|\begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}\right|=-2\\ \\ M_{31}=\left|\begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & -3 \end{matrix}\right|=-2 & M_{32}=\left|\begin{matrix} -1 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix}\right|=-4 & M_{33}=\left|\begin{matrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}\right|=-1 \end{matrix}$$

S'han trobat els nou menors complementaris, però cal afegir el signes de cada un d'ells segons si la suma $i + j$ sigui parell o senar. Resumint, el signes quedaran així:

$$\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & +\end{pmatrix}$$

i per tant la matriu adjunta serà:

$$Adj\begin{pmatrix}-1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 10 & -4 & 3 \\ 4 & -4 & 2 \\ -2 & 4 & -1\end{pmatrix}$$