Ecuación de la circunferencia II: ecuación general
Una circunferencia con centro $C = (a, b)$ y radio $r$ se puede escribir mediante la ecuación reducida como:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Desarrollando los cuadrados de dicha ecuación obtenemos:
$$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$$
y haciendo el cambio $A= -2a, \ \ B=-2b, \ \ C=a^2+b^2-r^2$ en:
$$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$$
se obtiene la nueva ecuación:
$$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$
Así hemos encontrado otra expresión analítica que nos define los puntos de una circunferencia. A esta ecuación se le llama ecuación general de la circunferencia.
Veamos como determinar el centro y el radio de una circunferencia a partir de su ecuación general.
Dado que hemos hecho el cambio:
$$A=-2a, \ \ B=-2b, \ \ C=a^2+b^2-r^2$$
aislamos de estas expresiones los términos $a$, $b$ y $r$. Tenemos:
$$\displaystyle a=-\frac{A}{2}$$ $$b=-\frac{B}{2}$$ $$r^2=a^2+b^2-C=\Big(-\frac{A}{2}\Big)^2+\Big(-\frac{B}{2}\Big)^2-C=\frac{A^2+B^2-4C}{4}$$
Y como sabemos que en la expresión reducida $(a, b)$ es el centro y $r$ el radio, dada una ecuación general:
$$x^2+y^2+Ax+Bx+C=0$$
el centro de tal circunferencia es el punto $\displaystyle \Big(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2}\Big)$ y el radio es $\displaystyle r=\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}$.
Supongamos que nos dan la circunferencia $$x^2+y^2-2x+4y-4=0$$ entonces tenemos que está centrada en el punto:
$$\displaystyle \Big(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2}\Big)=\Big(-\frac{-2}{2},-\frac{4}{2}\Big)=(1,-2)$$
y tiene radio:
$$\displaystyle r=\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}=\sqrt{\frac{(-2)^2+4^2-4\cdot(- 4)}{4}}=$$
$$=\displaystyle\sqrt{\frac{4+16+16}{4}}=\sqrt{\frac{36}{4}}=\frac{6}{2}=3$$
Veamos ahora el proceso inverso,
Dar la ecuación general de la circunferencia que tiene por ejemplo radio $4$ y centro $(-5, 6)$.
Escribimos la ecuación reducida:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \Rightarrow (x+5)^2+(y-6)^2=4^2 $$
desarrollando los cuadrados nos queda:
$$(x+5)^2+(y-6)^2=4^2 \Rightarrow x^2+10x+25+y^2-12y+36=16$$
Si lo ordenamos oportunamente y sumamos todos los términos independientes obtenemos la ecuación general de dicha circunferencia, esto es:
$$x^2+10x+25+y^2-12y+36=16$$
$$x^2+y^2+10x-12y+25+36=16$$
$$x^2+y^2+10x-12y+45=0$$
Veamos que pasa cuando la circunferencia está centrada en el origen y queremos escribir su ecuación general:
Dado que el $(0, 0)$ es el centro tenemos: $a=0$ y $b=0$ por lo que,
$$\left.{\begin{matrix} {0=a=-\frac{A}{2}} \\ {0=b=-\frac{B}{2}} \end{matrix}}\right \}\Longrightarrow{\left \{ {\begin{matrix} {A=0}\\{B=0}\end{matrix}}\right . }$$
de manera que en la ecuación general solo existirán términos cuadráticos y términos independientes, es decir:
$$x^2+y^2+C=0$$
que pasando el término independiente al otro lado se convierte en la ecuación reducida de la circunferencia:
$$x^2+y^2=-C$$
donde sabemos que $$C=a^2+b^2-r^2=-r^2$$
puesto que suponíamos centro $(0, 0)$.
En definitiva: Para una circunferencia centrada en el cero las dos ecuaciones son la misma prácticamente.
Veamos un ejemplo:
Circunferencia centrada en el origen y radio $7$.
Ecuación reducida: $x^2+y^2=7^2$
Ecuación general: $x^2+y^2+C=0$ donde $C=-7^2 \Longrightarrow x^2+y^2-7^2=0$
Resumiendo tenemos:
Dada la circunferencia como: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Entonces el centro es el punto del plano $(a,b)$ y el radio es $r$.
$(x-8)^2+(y+3)^2=1$ tiene centro $(8,-3)$ y radio $1$.
Dada la circunferencia como: $x^2+y^2+Ax+By+C=0$
Entonces el centro es el punto del plano $\displaystyle \Big(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2}\Big)$ y el radio es $\displaystyle r=\sqrt{\Big(\frac{A}{2}\Big)^2+\Big(\frac{B}{2}\Big)^2-C}$
$x^2+y^2+x-5y-2=0$ tiene centro $\displaystyle \Big(\frac{-1}{2},\frac{5}{2}\Big)$ y radio
$$\displaystyle r=\sqrt{\Big(\frac{1}{2}\Big)^2+\Big(\frac{-5}{2}\Big)^2-(-2)}=\sqrt{\frac{1+25+8}{4}}=\sqrt{\frac{34}{4}}=\sqrt{\frac{17}{2}}$$