Equació de la circumferència II: equació general
Una circumferència amb centre $C = (a, b)$ i radi $r$ es pot escriure mitjançant l'equació reduïda:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Desenvolupant els quadrats d'aquesta equació obtenim:
$$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$$
i fent el canvi $A= -2a, \ \ B=-2b, \ \ C=a^2+b^2-r^2$ en:
$$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$$
s'obté la nova equació:
$$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$
Així hem trobat una altra expressió analítica que ens defineix els punts d'una circumferència. A aquesta equació s'anomena equació general de la circumferència.
Vegem com determinar el centre i el radi d'una circumferència a partir de la seva equació general.
Atès que hem fet el canvi:
$$A=-2a, \ \ B=-2b, \ \ C=a^2+b^2-r^2$$
aïllem d'aquestes expressions els termes $a$, $b$ i $r$. Tenim:
$$\displaystyle a=-\frac{A}{2}$$ $$b=-\frac{B}{2}$$ $$r^2=a^2+b^2-C=\Big(-\frac{A}{2}\Big)^2+\Big(-\frac{B}{2}\Big)^2-C=\frac{A^2+B^2-4C}{4}$$
I com sabem que en l'expressió reduïda $(a, b)$ és el centre i $r$ el radi, donada una equació general:
$$x^2+y^2+Ax+Bx+C=0$$
el centre de tal circumferència és el punt $\displaystyle \Big(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2}\Big)$ i el radi és $\displaystyle r=\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}$.
Suposem que ens donen la circumferència $$x^2+y^2-2x+4y-4=0$$ que està centrada en el punt:
$$\displaystyle \Big(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2}\Big)=\Big(-\frac{-2}{2},-\frac{4}{2}\Big)=(1,-2)$$
i té radi:
$$\displaystyle r=\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}=\sqrt{\frac{(-2)^2+4^2-4\cdot(- 4)}{4}}=$$
$$=\displaystyle\sqrt{\frac{4+16+16}{4}}=\sqrt{\frac{36}{4}}=\frac{6}{2}=3$$
Vegem ara el procés invers,
Donar l'equació general de la circumferència que té per exemple radi $4$ i centre $(-5, 6)$.
Escrivim l'equació reduïda:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \Rightarrow (x+5)^2+(y-6)^2=4^2 $$
desenvolupant els quadrats ens queda:
$$(x+5)^2+(y-6)^2=4^2 \Rightarrow x^2+10x+25+y^2-12y+36=16$$
Si ho ordenem oportunament i sumem tots els termes independents obtenim l'equació general d'aquesta circumferència, és a dir:
$$x^2+10x+25+y^2-12y+36=16$$
$$x^2+y^2+10x-12y+25+36=16$$
$$x^2+y^2+10x-12y+45=0$$
Vegem que passa quan la circumferència està centrada en l'origen i volem escriure la seva equació general:
Atès que el $(0, 0)$ és el centre tenim: $a=0$ i $b=0$ pel que,
$$\left.{\begin{matrix} {0=a=-\frac{A}{2}} \\ {0=b=-\frac{B}{2}} \end{matrix}}\right \}\Longrightarrow{\left \{ {\begin{matrix} {A=0}\\{B=0}\end{matrix}}\right . }$$
de manera que en l'equació general només hi haurà termes quadràtics i termes independents, és a dir:
$$x^2+y^2+C=0$$
que passant el terme independent a l'altra banda es converteix en l'equació reduïda de la circumferència:
$$x^2+y^2=-C$$
on sabem que:
$$C=a^2+b^2-r^2=-r^2$$
ja que suposàvem centre $(0, 0)$.
En definitiva: Per a una circumferència centrada en el zero les dues equacions són pràcticament la mateixa.
Vegem un exemple:
Circumferència centrada en l'origen i radi $7$.
Equació reduïda: $x^2+y^2=7^2$
Equació general: $x^2+y^2+C=0$ on $C=-7^2 \Longrightarrow x^2+y^2-7^2=0$
Resumint, tenim:
Donada la circumferència com: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Llavors el centre és el punt del pla $(a,b)$ i el radi és $r$.
$(x-8)^2+(y+3)^2=1$ té centre $(8,-3)$ i radi $1$.
Donada la circumferència com: $x^2+y^2+Ax+By+C=0$
Llavors el centre és el punt del pla $\displaystyle \Big(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2}\Big)$ i el radi és $\displaystyle r=\sqrt{\Big(\frac{A}{2}\Big)^2+\Big(\frac{B}{2}\Big)^2-C}$
$x^2+y^2+x-5y-2=0$ té centre $\displaystyle \Big(\frac{-1}{2},\frac{5}{2}\Big)$ i radi:
$$\displaystyle r=\sqrt{\Big(\frac{1}{2}\Big)^2+\Big(\frac{-5}{2}\Big)^2-(-2)}=\sqrt{\frac{1+25+8}{4}}=\sqrt{\frac{34}{4}}=\sqrt{\frac{17}{2}}$$