Los principios de adición y multiplicación

A continuación se verán dos reglas para contar el número de elementos de conjuntos.

• Principio de adición: Para contar los elementos de la unión de dos conjuntos que no tienen elementos en común, simplemente se tienen que sumar los cardinales de cada uno de los conjuntos.

Si se tienen los conjuntos: $A=\{ a,b,c,d,e \}$ y $B=\{x,y,z\}$, entonces: $$card(A)=5 \\ card(B)=3$$ y por lo tanto: $$card(A \cup B) =card(A) + card(B) =5+3 =8$$ No obstante, si los dos conjuntos sí tienen elementos en común, se deberán sumar los cardinales de cada uno de los conjuntos y restar el cardinal de la intersección de ambos.

Con los conjuntos $A=\{ a,b,c,d,e \}$ y $C=\{ a,b,g,h \}$, se tiene que la intersección de ambos (es decir, los elementos en común) es $A \cap C = \{ a,b \} $. Entonces: $$card(A)=5 \\ card(C)=4 \\ card(A\cap C)=2$$ y por lo tanto: $$card(A\cup C)=card(A)+card(C)-card(A \cap C)=$$ $$=5+4-2=7$$

• Principio de multiplicación: Para contar los elementos del producto cartesiano de dos conjuntos $A$ y $B$, simplemente se tiene que multiplicar los cardinales de ambos conjuntos.

Si $A=\{ a,b,c,d,e \}$ y $B= \{ x,y,z \}$, entonces: $$card(A)=5 \\ card(B)=3$$ y por lo tanto: $$card(A \times B)=card(A) \times card(B)=3 \cdot 5 =15 $$