Problemas de relojes

Cuando son las $6$ en punto, la aguja horaria está en el $6$ (que corresponden a $30$ minutos) y el minutero está en el $12$ (que corresponde a $0$ minutos).

Consideramos $x$ el arco que recorre la aguja horaria. Pensemos entonces, qué arco recorrerá el minutero.

Éste se encuentra en $0$ minutos por lo que deberá recorrer $30$ minutos más lo que haya recorrido la aguja horaria que es lo que hemos llamado $x$. Así pues, debe recorrer $30+x$ para alcanzar la aguja horaria.

Como sabemos que siempre es $12$ veces lo que recorre la horaria, podemos plantear la siguiente ecuación:

$$30+x=12x$$

Despejando la incógnita, encontramos que:

$$x=\dfrac{30}{11} \ \mbox{minutos}.$$

Por lo tanto, se cruzarán a las $6$h $30+x$ minutos.

Veamos cuantos minutos y segundos corresponden a $x=\dfrac{30}{11} \ \mbox{minutos}$ para escribirlo de forma más elegante.

Sabemos que

$$\dfrac{30}{11} \ \mbox{minutos}=\dfrac{22}{11}+\dfrac{8}{11}=2 \ \mbox{minutos} + \dfrac{8}{11} \ \mbox{minutos} $$

donde:

$$\dfrac{8}{11} \ \mbox{minutos}=\dfrac{8}{11} \ \mbox{minutos} \cdot \dfrac{60 \ \mbox{segundos}}{1 \ \mbox{minuto}} = \dfrac{480}{11} \ \mbox{segundos} \approx 44 \ \mbox{segundos} $$

Por lo tanto, las agujas se cruzarán cuando las agujas marquen $6h \ 30+2' \ 44''$, es decir a las $6h \ 32' \ 44''$.