Suma i resta de vectors
La suma de dos vectors lliures $\vec{u}$ i $\vec{v}$ és un altre vector lliure $\vec{u}+\vec{v}$, que s'obté de la següent manera:
Es trien com a representants dos vectors tals que l'extrem d'un coincideixi amb l'origen de l'altre vector. El vector suma tindrà com a origen l'origen de $\vec{u}$ i com a extrem, l'extrem de $\vec{v}$.
Una altra manera de sumar dos vectors lliures és mitjançant la regla del paral·lelogram: Es prenen com a representants dos vectors amb l'origen en comú, es tracen rectes paral·leles als vectors obtenint-se un paral·lelogram la diagonal del qual coincideix amb la suma dels vectors.
Per sumar dos vectors, només cal sumar els seus respectives components, si $\vec{u}=(x_1,y_1)$ i $\vec{v}=(x_2,y_2)$: $$\vec{u}+\vec{v}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$$
Si $\vec{u}=(-5,3)$ i $\vec{v}=(1,1)$, aleshores: $$\vec{u}+\vec{v}=(-5+1,3+1)=(-4,4)$$
Per restar dos vectors lliures $\vec{u}=(x_1,y_1)$ i $\vec{v}=(x_2,y_2)$, és a dir, $\vec{u}-\vec{v}$, se suma $\vec{u}$ amb l'oposat de $\vec{v}=(x_2,y_2)$, que seria $-\vec{v}$.
Si $\vec{u}=(2,6)$ i $\vec{v}=(3,2)$, la resta $\vec{u}-\vec{v}$ serà la suma de $\vec{u}$ i $-\vec{v}=(-3,-2)$ (l'oposat de $\vec{v}$), de manera que: $$\vec{u}-\vec{v}=(2+(-3),6+(-2))=(-1,4)$$
Propietats de la suma:
- Associativa: $\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$.
- Commutativa: $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$.
- Element neutre: $\vec{u}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}$.
- Element simètric (oposat): $\vec{u}+(-\vec{u})=(-\vec{u})+\vec{u}=\vec{0}$.