Suma y resta de vectores
Suma de dos vectores libres $\vec{u}$ y $\vec{v}$. La suma de estos dos vectores libres es otro vector libre $\vec{u}+\vec{v}$, que se obtiene de la siguiente forma:
Se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector. El vector suma tendrá como origen el origen de $\vec{u}$ y como extremo el extremo de $\vec{v}$.
Otra manera de sumar dos vectores libres es mediante la regla del paralelogramo: Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.
Para sumar dos vectores, basta sumar sus respectivas componentes, si $\vec{u}=(x_1,y_1)$ y $\vec{v}=(x_2,y_2)$: $$\vec{u}+\vec{v}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$$
Si $\vec{u}=(-5,3)$ y $\vec{v}=(1,1)$, entonces: $$\vec{u}+\vec{v}=(-5+1,3+1)=(-4,4)$$
Para restar dos vectores libres $\vec{u}=(x_1,y_1)$ y $\vec{v}=(x_2,y_2)$, es decir, $\vec{u}-\vec{v}$, se suma $\vec{u}$ con el opuesto de $\vec{v}=(x_2,y_2)$, que seria $-\vec{v}$.
Si $\vec{u}=(2,6)$ y $\vec{v}=(3,2)$, la resta $\vec{u}-\vec{v}$ serà la suma de $\vec{u}$ y $-\vec{v}=(-3,-2)$ (l'oposat de $\vec{v}$), de manera que: $$\vec{u}-\vec{v}=(2+(-3),6+(-2))=(-1,4)$$
Propiedades de la suma:
- Asociativa: $\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$.
- Commutativa: $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$.
- Elemento neutro: $\vec{u}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}$.
- Elemento simétrico (opuesto): $\vec{u}+(-\vec{u})=(-\vec{u})+\vec{u}=\vec{0}$.