Producte Vectorial
Donats dos vectors en dimensió 3, és a dir, amb tres components, podem definir una nova operació: el producte vectorial. El producte vectorial entre dos vectors $\vec{a}$ i $\vec{b}$ és un altre vector $\vec{c}$.
Definim el producte vectorial per: $\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$. També es pot escriure el producte vectorial utilitzant el símbol $\land$. De manera que $\vec{c}=\vec{a}\land\vec{b}$.
Característiques del vector resultant $\vec{c}$ al producte vectorial de dos vectors $\vec{a}$ i $\vec{b}$:
- La direcció és perpendicular al pla format pels dos vectors $\vec{a}$ i $\vec{b}$.
- El sentit del vector $\vec{c}$ ve donat aplicant la "regla del llevataps" o "regla de la mà dreta":
És el sentit cap el qual es mouria un llevataps quan es fa girar. Quan fem girar un llevataps o un cargol "cap a la dreta" (en el sentit de la agulles d'un rellotge) el llevataps o el cargol "avança". També es pot utilitzar el llevataps o un cargol en l'altre sentit: quan es fa girar un llevataps o un cargol "cap a l'esquerra" (contrari a les agulles del rellotge), el llevataps o el cargol "retrocedeix".
Com determinar el vector resultant $\vec{c}$ del producte vectorial de $\vec{a}$ i $\vec{b}$ en coordenades:
Si $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ i $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$. El producte vectorial entre $\vec{a}$ i $\vec{b}$ és el vector $\vec{c}$. Per això calculem el determinant següent:
$$\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} \vec{i} + (-1)\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \vec{k}$$
On $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ és la base canònica de $\mathbb{R}^3$. És a dir, $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$, $\vec{k}=(0,0,1)$, formen una base ortonormal.
Si $\vec{a}=(2,0,-1)$, $\vec{b}=(1,1,-2)$. Calculem $\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$:
$$\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} \vec{i} + (-1)\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \vec{k} = (1,3,2)$$
Altres maneres de determinar el producte vectorial de $\vec{a}$ i $\vec{b}$:
$$\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}= |\vec{a}||\vec{b}|\sin(\widehat{ab})\cdot\hat{n}$$
on $\hat{n}$ és un vector unitari en la direcció i sentit corresponent. Direcció perpendicular al pla format per $\vec{a}$ i $\vec{b}$ i sentit donat per la regla del llevataps.
Propietats del producte vectorial:
- $\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$
- Si $\vec{a}$ i $\vec{b}$ estan en la mateixa recta, és a dir, si són vectors lligats i són a la mateixa recta, aleshores el producte escalar és zero.
Si $\vec{a}=(1,0,0)$ i $\vec{b}=(-2,0,0)$ llavors:
$$\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \vec{i} + (-1)\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \vec{k} = (0,0,0)=\vec{0}$$